Qué son los divisores de un número: definición, cómo hallarlos y ejemplos
¿Qué son los divisores de un número?
Imagina que tienes 12 galletas y quieres repartirlas entre tus amigos, de forma que todos reciban la misma cantidad y no sobre ninguna. ¿Entre cuántos amigos puedes repartirlas? Puede ser entre 1, 2, 3, 4, 6 o 12 amigos. Esos números (1, 2, 3, 4, 6, 12) son los divisores de 12. Son los números que «caben exactamente» en 12.
🎯 En este post aprenderás: La definición de divisor, la relación con los múltiplos, métodos para encontrar todos los divisores de un número (desde el más simple hasta el más eficiente), propiedades y ejercicios prácticos.
📖 Definición de Divisor
➗ La relación exacta
Un número b es divisor de otro número a (y se escribe b | a) si al dividir a entre b, la división es exacta, es decir, el resto es 0.
Otra forma de decirlo: a se puede escribir como a = b × k, donde k es un número natural.
Ejemplo clave: 6 es divisor de 18 porque 18 ÷ 6 = 3, resto 0. También 18 = 6 × 3. Por tanto, 3 también es divisor de 18.
💡 Relación con múltiplos: Si b es divisor de a, entonces a es múltiplo de b. Es la misma relación, vista desde el otro lado. Los divisores son los «factores» que multiplicados dan el número.
🔍 Cómo Encontrar Todos los Divisores de un Número
Encontrar todos los divisores de un número no es complicado, pero hay que ser metódico para no olvidar ninguno. Aquí tienes dos métodos.
Método 1: Por Divisiones Sucesivas (Ideal para números pequeños)
Dividimos el número entre 1, 2, 3, … hasta que el cociente sea menor que el divisor. Cuando la división es exacta, tanto el divisor como el cociente son divisores.
Ejemplo: Hallar los divisores de 20.
- 20 ÷ 1 = 20 (exacta) → 1 y 20 son divisores.
- 20 ÷ 2 = 10 (exacta) → 2 y 10 son divisores.
- 20 ÷ 3 = 6,66 (no exacta) → 3 no es divisor.
- 20 ÷ 4 = 5 (exacta) → 4 y 5 son divisores.
- 20 ÷ 5 = 4. Como el divisor (5) ya es mayor que el cociente (4), paramos.
Divisores de 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}.
Método 2: Usando la Descomposición en Factores Primos (Ideal para números grandes)
Este método es más sistemático y evita olvidar divisores. Consiste en:
- Descomponer el número en factores primos.
- Combinar esos factores primos de todas las formas posibles (incluyendo el 1).
Ejemplo: Divisores de 72.
- Descomponemos 72: 72 = 2³ × 3².
- Ahora, tomamos todas las combinaciones de las potencias de 2 (2⁰, 2¹, 2², 2³) y de 3 (3⁰, 3¹, 3²).
- Multiplicamos cada combinación:
- 2⁰×3⁰ = 1
- 2⁰×3¹ = 3
- 2⁰×3² = 9
- 2¹×3⁰ = 2
- 2¹×3¹ = 6
- 2¹×3² = 18
- 2²×3⁰ = 4
- 2²×3¹ = 12
- 2²×3² = 36
- 2³×3⁰ = 8
- 2³×3¹ = 24
- 2³×3² = 72
- Ordenamos: Divisores de 72: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}.
¡Hemos encontrado los 12 divisores sin perdernos ninguno!
✨ Propiedades de los Divisores
Propiedad 1: El 1 es divisor de todos los números. Porque cualquier número dividido por 1 da el mismo número, exacto.
Propiedad 2: Todo número es divisor de sí mismo. Porque a ÷ a = 1, exacto.
Propiedad 3: Los divisores de un número son siempre menores o iguales que el propio número. (Excepto el propio número).
Propiedad 4: Si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a es divisor de c. Ejemplo: 2 es divisor de 6, y 6 es divisor de 18, entonces 2 es divisor de 18.
Propiedad 5: El número de divisores de un número se puede calcular a partir de su descomposición prima. Si N = p₁ᵃ × p₂ᵇ × p₃ᶜ…, el número total de divisores es (a+1)(b+1)(c+1)…
Ejemplo: 72 = 2³ × 3² → Nº divisores = (3+1)(2+1) = 4×3 = 12. ¡Coincide con los que hallamos!
📝 Ejemplos Prácticos
Ejemplo 1: Divisores de 48
Usando el método de pares o descomposición prima (48 = 2⁴ × 3¹).
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Comprobamos: 48÷2=24, 48÷3=16, 48÷4=12, 48÷6=8. Todos exactos.
Ejemplo 2: Divisores de 100
Descomposición: 100 = 2² × 5².
Número de divisores: (2+1)(2+1)=9.
Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.
Ejemplo 3: Divisores de un número primo (11)
Un número primo solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
Divisores de 11: {1, 11}.
✅ 5 Ejercicios Resueltos (Nivel Progresivo)
Practica lo aprendido: Intenta resolver cada ejercicio antes de mirar la solución.
Ejercicio 1 (Fácil): Encuentra todos los divisores de 18.
Ver solución
Por divisiones sucesivas:
- 18÷1=18 → 1 y 18.
- 18÷2=9 → 2 y 9.
- 18÷3=6 → 3 y 6.
- 18÷4 no exacta, 18÷5 no exacta. Siguiente divisor sería 6, pero ya lo tenemos.
Divisores de 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Ejercicio 2 (Fácil): ¿Es 7 un divisor de 91?
Ver solución
Calculamos 91 ÷ 7 = 13. La división es exacta (13×7=91). Por lo tanto, sí, 7 es divisor de 91.
Ejercicio 3 (Medio): Escribe todos los divisores de 60.
Ver solución
Descomponemos 60 = 2² × 3 × 5. Nº divisores = (2+1)(1+1)(1+1)=3×2×2=12. Los encontramos combinando factores:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Ejercicio 4 (Medio): Encuentra un número que tenga exactamente 3 divisores. ¿Qué característica tiene ese número?
Ver solución
Si un número tiene 3 divisores, según la fórmula, (a+1)(b+1)… = 3. La única forma de obtener 3 es (2+1), es decir, un solo factor primo elevado al cuadrado (N = p²). Ejemplo: 4 (divisores 1,2,4), 9 (1,3,9), 25 (1,5,25). Son los cuadrados de números primos.
Ejercicio 5 (Avanzado): Un carpintero tiene una tabla de 150 cm de largo y la quiere cortar en trozos iguales, sin que sobre nada, y que cada trozo mida un número entero de centímetros. ¿De cuántas longitudes diferentes puede cortar los trozos?
Ver solución
El problema pregunta por los divisores de 150. Hallamos los divisores de 150. 150 = 2 × 3 × 5². Nº divisores = (1+1)(1+1)(2+1)=2×2×3=12.
Los divisores son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.
Por tanto, puede cortar los trozos de 12 longitudes diferentes (desde 1 cm hasta 150 cm).
🌍 Aplicaciones en la Vida Real
- Repartos equitativos: Para dividir una cantidad en grupos iguales, buscamos divisores.
- Organización en filas y columnas: Para colocar 24 sillas en filas iguales, podemos hacerlo de todas las formas que sean divisores de 24.
- Construcción y diseños: Al cortar baldosas o telas en piezas iguales.
- Criptografía: Los números primos y sus divisores son la base de muchos sistemas de seguridad.
📚 Sigue aprendiendo sobre Múltiplos y Divisores
- Qué son los múltiplos de un número – El concepto complementario.
- Qué son los divisores de un número – ¡Estás aquí!
- Criterios de divisibilidad – Trucos para saber si un número es divisible sin dividir.
- Mínimo común múltiplo (mcm) – Calcula el menor múltiplo común.
- Máximo común divisor (mcd) – Calcula el mayor divisor común.
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