Ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso

La mejor manera de dominar los sistemas de ecuaciones es practicar, practicar y practicar. En este post encontrarás una selección de ejercicios resueltos detalladamente, desde los más básicos hasta problemas con tres incógnitas y casos especiales. Cada ejercicio incluye el método más adecuado y la solución explicada línea por línea.

🎯 En este post encontrarás: 5 ejercicios completos con resolución paso a paso, sistemas 2×2 y 3×3, problemas de aplicación real, clasificación de sistemas, consejos para elegir el mejor método y enlaces a toda la teoría.

🔍 Cómo sacar el máximo provecho a estos ejercicios

✏️ Antes de mirar la solución, inténtalo por tu cuenta

Cada ejercicio se presenta con el enunciado. Intenta resolverlo usando el método que prefieras (sustitución, reducción, igualación o Gauss). Solo después despliega la solución para comprobar tus resultados y comparar el procedimiento. Esta práctica activa mejora enormemente el aprendizaje.

Si necesitas repasar la teoría, consulta los artículos enlazados a lo largo del post.

📝 Ejercicio 1 – Sistema 2×2 por sustitución (nivel básico)

Enunciado

Resuelve el siguiente sistema usando el método de sustitución:

3x + 2y = 12
x – y = –1

✅ Ver solución paso a paso

Paso 1: Despejamos una incógnita de la ecuación más sencilla. De la segunda ecuación: x – y = –1 → x = y – 1.

Paso 2: Sustituimos x en la primera ecuación: 3(y – 1) + 2y = 12 → 3y – 3 + 2y = 12 → 5y – 3 = 12 → 5y = 15 → y = 3.

Paso 3: Calculamos x: x = y – 1 = 3 – 1 = 2.

Paso 4: Verificación: Primera: 3·2 + 2·3 = 6+6=12 ✅; Segunda: 2 – 3 = –1 ✅.

Solución: x = 2, y = 3. Sistema compatible determinado.

Método alternativo: Podrías usar reducción multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando. Practica también así.

📝 Ejercicio 2 – Sistema 2×2 con fracciones (reducción)

Enunciado

Resuelve por el método de reducción:

(1/2)x + (1/3)y = 2
(1/4)x – (1/2)y = –1

✅ Ver solución paso a paso

Paso 1: Eliminamos denominadores. Multiplicamos la primera ecuación por 6 (mínimo común múltiplo de 2 y 3): 3x + 2y = 12.

Multiplicamos la segunda ecuación por 4 (mínimo común múltiplo de 4 y 2): x – 2y = –4.

Paso 2: Ahora tenemos el sistema equivalente:
3x + 2y = 12
x – 2y = –4

Paso 3: Sumamos ambas ecuaciones para eliminar y: (3x+2y)+(x–2y) = 12 + (–4) → 4x = 8 → x = 2.

Paso 4: Sustituimos x en la segunda ecuación simplificada: 2 – 2y = –4 → –2y = –6 → y = 3.

Verificación en las originales: (1/2)·2 + (1/3)·3 = 1+1=2✅; (1/4)·2 – (1/2)·3 = 0,5 – 1,5 = –1✅.

Solución: x = 2, y = 3.

📝 Ejercicio 3 – Sistema 2×2 con infinitas soluciones (indeterminado)

Enunciado

Clasifica y resuelve el siguiente sistema:

2x – y = 3
4x – 2y = 6

✅ Ver solución paso a paso

Paso 1: Observamos que la segunda ecuación es exactamente el doble de la primera (4x–2y = 2·(2x–y) = 2·3 = 6). Por tanto, ambas ecuaciones son equivalentes.

Paso 2: Solo tenemos una ecuación independiente: 2x – y = 3. Despejamos y: y = 2x – 3.

Paso 3: Expresamos las infinitas soluciones mediante un parámetro. Tomamos x = t (con t ∈ ℝ), entonces y = 2t – 3.

Solución: (t, 2t – 3) para cualquier número real t. Sistema compatible indeterminado.

Comprobación: Para cualquier t, al sustituir en la segunda: 4t – 2(2t–3) = 4t –4t +6 = 6 ✅.

Más información sobre este tipo de sistemas en sistemas incompatibles e indeterminados.

📝 Ejercicio 4 – Sistema 3×3 por método de Gauss

Enunciado

Resuelve el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas usando el método de eliminación de Gauss:

x + y + z = 6
2x – y + z = 3
x + 2y – z = 3

✅ Ver solución paso a paso

Paso 1: Escribimos la matriz aumentada:

[ 1   1   1 | 6 ]
[ 2  -1   1 | 3 ]
[ 1   2  -1 | 3 ]

Paso 2: Eliminamos x en las filas 2 y 3 usando la fila 1 como pivote.

Fila2 ← Fila2 – 2·Fila1: (2-2·1, -1-2·1, 1-2·1, 3-2·6) → (0, -3, -1, -9).

Fila3 ← Fila3 – 1·Fila1: (1-1, 2-1, -1-1, 3-6) → (0, 1, -2, -3).

Ahora la matriz es:

[ 1   1   1 | 6 ]
[ 0  -3  -1 | -9 ]
[ 0   1  -2 | -3 ]

Paso 3: Trabajamos con las filas 2 y 3. Intercambiamos fila2 y fila3 para tener un pivote más sencillo:

[ 1   1   1 | 6 ]
[ 0   1  -2 | -3 ]
[ 0  -3  -1 | -9 ]

Paso 4: Eliminamos y en la fila3: Fila3 ← Fila3 + 3·Fila2:

(0+0, -3+3·1, -1+3·(-2), -9+3·(-3)) → (0, 0, -1-6, -9-9) → (0, 0, -7, -18).

Matriz escalonada:

[ 1   1   1 | 6 ]
[ 0   1  -2 | -3 ]
[ 0   0  -7 | -18 ]

Paso 5: Resolvemos de abajo arriba (sustitución regresiva).

De la tercera fila: –7z = –18 → z = 18/7 ≈ 2,5714 (mejor dejamos fracción: z = 18/7).

De la segunda fila: y – 2z = –3 → y = 2z – 3 = 2·(18/7) – 3 = 36/7 – 21/7 = 15/7.

De la primera fila: x + y + z = 6 → x = 6 – y – z = 6 – 15/7 – 18/7 = 6 – 33/7 = 42/7 – 33/7 = 9/7.

Solución: x = 9/7, y = 15/7, z = 18/7.

Verificación rápida: Suma: 9+15+18=42, 42/7=6✅; segunda: 2·(9/7) – 15/7 + 18/7 = (18-15+18)/7=21/7=3✅; tercera: 9/7 + 2·15/7 – 18/7 = (9+30-18)/7=21/7=3✅.

Consulta más ejemplos en sistemas con tres incógnitas.

📝 Ejercicio 5 – Problema de enunciado (aplicación real)

Enunciado

En un cine, el precio de la entrada para adulto es el doble que para niño. Un grupo de 3 adultos y 4 niños paga 40 €. Otro grupo de 2 adultos y 5 niños paga 36 €. ¿Cuál es el precio de cada entrada?

✅ Ver solución paso a paso

Paso 1 – Definir incógnitas: Sea a = precio entrada adulto (€), n = precio entrada niño (€).

Paso 2 – Plantear ecuaciones:
«El precio del adulto es el doble que el del niño» → a = 2n.
Primer grupo: 3a + 4n = 40.
Segundo grupo: 2a + 5n = 36.

Paso 3 – Sustituir a = 2n en la primera ecuación:
3(2n) + 4n = 40 → 6n + 4n = 40 → 10n = 40 → n = 4 €.
Luego a = 2·4 = 8 €.

Paso 4 – Verificar con la segunda ecuación:
2·8 + 5·4 = 16 + 20 = 36 ✅.

Solución: Entrada adulto = 8 €, entrada niño = 4 €.

Nota: Aunque usamos solo una ecuación de las dos, la tercera es redundante porque ya aplicamos la condición a=2n. El sistema es compatible determinado.

Para más problemas de este tipo, revisa problemas de sistemas con enunciado.

🎯 Ejercicio adicional (bonus) – Sistema incompatible

Enunciado

Demuestra que el siguiente sistema no tiene solución:

x + y = 4
2x + 2y = 9

✅ Ver solución

Dividiendo la segunda ecuación entre 2 obtenemos x + y = 4,5. Pero la primera dice x + y = 4. Es imposible que la misma suma sea simultáneamente 4 y 4,5. Por tanto, el sistema es incompatible (sin solución). Gráficamente, son dos rectas paralelas.

Este tipo de sistemas se estudia en sistemas incompatibles e indeterminados.

📊 Tabla resumen de métodos según el tipo de sistema

Tipo de sistema	Método recomendado	Observaciones
2×2 con coeficientes sencillos	Reducción o sustitución	El que prefieras, practica ambos
2×2 con fracciones	Eliminar denominadores primero, luego reducción	Multiplica por el mcm
3×3	Método de Gauss (matriz escalonada)	El más ordenado y evita confusiones
Sistema con parámetros o letras	Gauss o discusión por rangos	Requiere análisis de casos
Problemas con enunciado	Plantear ecuaciones y elegir método según sistema resultante	Prioriza despejar incógnitas fáciles

🧠 Consejos para resolver cualquier sistema

Orden y limpieza: Escribe cada ecuación de forma ordenada, alineando las incógnitas.
Verifica siempre: Sustituye la solución en todas las ecuaciones originales.
Si aparecen fracciones, multiplica: Es más fácil trabajar con enteros.
En sistemas 3×3, usa Gauss: Anota las operaciones entre filas para no perder el hilo.
No te rindas: Los errores de signo son comunes; revisa paso a paso.

🚫 Errores típicos al resolver ejercicios

Olvidar multiplicar todos los términos al eliminar denominadores.
Confundir el orden de las operaciones al sumar ecuaciones.
No comprobar si el sistema es incompatible y seguir buscando una solución que no existe.
Expresar mal las soluciones indeterminadas (sin parámetros o con parámetros mal definidos).
Despejar mal una incógnita (errores de signo al pasar términos).

🔗 Enlaces a toda la teoría sobre sistemas

Si necesitas repasar algún concepto antes o después de hacer los ejercicios, aquí tienes toda la serie completa:

Sistemas de ecuaciones: método gráfico – Aprende a visualizar las soluciones.
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas – Amplía a 3 variables.
Problemas de sistemas de ecuaciones con enunciado – Traduce problemas reales a ecuaciones.
Sistemas incompatibles e indeterminados – Cuando no hay solución o hay infinitas.
Ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso – (este artículo).

🌍 Dónde se aplican estos sistemas en la vida real

Economía: Equilibrio de mercado, punto de equilibrio.
Nutrición: Mezclas de alimentos para alcanzar ciertos nutrientes.
Ingeniería: Circuitos eléctricos, estructuras, flujo de redes.
Ciencias sociales: Modelos de población, encuestas.
Vida diaria: Reparto de gastos, planificación de viajes, compras.

📖 Conclusión y recomendación final

🔑 Claves para dominar los sistemas de ecuaciones:

Practica con ejercicios variados (2×2, 3×3, con fracciones, con parámetros).
Aprende a reconocer rápidamente si un sistema es SCD, SCI o SI.
Domina al menos dos métodos algebraicos para contrastar resultados.
Siempre verifica tus soluciones.
No memorices procedimientos mecánicamente; entiende por qué funcionan.

Con la práctica constante, resolver sistemas se convertirá en un proceso ágil y casi automático. ¡Sigue practicando!

📚 ¿Necesitas más ejercicios?

Revisa los artículos anteriores donde cada uno incluye ejercicios adicionales. Además, puedes buscar problemas en tu libro de texto o crear tus propios sistemas intercambiando coeficientes. La clave está en la repetición deliberada.

Si tienes dudas sobre algún paso, vuelve a las explicaciones teóricas en los enlaces de arriba. ¡Ánimo con las matemáticas!

🎓 Reto final: Inventa un problema cotidiano que requiera resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Por ejemplo, comprar tres tipos de frutas con precios diferentes. Plantea el sistema, resuélvelo por Gauss y comprueba que los precios sean positivos. ¡Comparte tu problema con tus compañeros!