Media, mediana y moda: medidas de centralización
Media, mediana y moda: El centro de tus datos
Cuando tenemos un conjunto de datos, a menudo necesitamos un solo número que los represente a todos. ¿Cuál es la nota típica de la clase? ¿Cuál es el salario más común en una empresa? ¿Dónde está el «centro» de la distribución? Para responder a esto usamos las medidas de tendencia central: media, mediana y moda.
🎯 En este post aprenderás: Qué es cada medida, cómo se calcula (para datos sueltos y agrupados en tablas), las ventajas e inconvenientes de cada una, y cuándo es mejor usar una u otra. Incluye ejercicios resueltos paso a paso.
📊 Las tres medidas de centralización
Estas medidas nos indican alrededor de qué valor se agrupan los datos. Son como diferentes formas de definir el «centro» de una distribución.
🧠 Definiciones rápidas
- Media aritmética (x̄): Es el promedio. Se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre el número total de datos. Es la más conocida, pero sensible a valores extremos.
- Mediana (Me): Es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Divide al conjunto en dos partes iguales. No le afectan los valores extremos.
- Moda (Mo): Es el valor que más se repite. Puede haber más de una moda (bimodal, multimodal) o ninguna.
🧮 Cómo calcular la media aritmética
Para datos no agrupados (en bruto)
La fórmula es sencilla: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / N
Ejemplo: Notas de 5 alumnos: 6, 7, 5, 8, 9.
x̄ = (6 + 7 + 5 + 8 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
Para datos agrupados en tablas (con frecuencias)
Cuando los datos están en una tabla de frecuencias, la fórmula es: x̄ = Σ (xᵢ · fᵢ) / N, donde xᵢ es cada valor (o la marca de clase si hay intervalos) y fᵢ su frecuencia absoluta.
Ejemplo (discreto): Retomando la tabla del número de hermanos.
| Nº Hermanos (xᵢ) | fᵢ | xᵢ · fᵢ |
|---|---|---|
| 0 | 4 | 0 |
| 1 | 6 | 6 |
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | 1 | 3 |
| 4 | 1 | 4 |
| Total | N=15 | Σ=19 |
x̄ = 19 / 15 ≈ 1.27 hermanos.
Ejemplo (con intervalos): De la tabla de alturas.
| Intervalo | Marca (xᵢ) | fᵢ | xᵢ · fᵢ |
|---|---|---|---|
| [150 – 158) | 154 | 3 | 462 |
| [158 – 166) | 162 | 5 | 810 |
| [166 – 174) | 170 | 7 | 1190 |
| [174 – 182) | 178 | 5 | 890 |
| [182 – 190) | 186 | 5 | 930 |
| [190 – 198] | 194 | 5 | 970 |
| Total | 30 | 5252 |
x̄ = 5252 / 30 ≈ 175.07 cm.
🎯 Cómo calcular la mediana
Para datos no agrupados
Paso 1: Ordenar los datos de menor a mayor.
Paso 2: Localizar la posición central con la fórmula: Posición = (N + 1) / 2.
- Si N es impar, la mediana es el valor que está en esa posición.
- Si N es par, la mediana es la media de los dos valores centrales (los que están en las posiciones N/2 y N/2 + 1).
Ejemplo (N impar): Datos: 5, 3, 8, 6, 2. Ordenados: 2, 3, 5, 6, 8. Posición = (5+1)/2 = 3. La mediana es el 3er valor: 5.
Ejemplo (N par): Datos: 7, 2, 9, 4, 6, 3. Ordenados: 2, 3, 4, 6, 7, 9. Posiciones centrales: N/2 = 3 y N/2+1 = 4. Valores: 4 y 6. Me = (4+6)/2 = 5.
Para datos agrupados en tablas (con frecuencias acumuladas)
Buscamos el primer valor (o intervalo) cuya frecuencia absoluta acumulada (Fᵢ) sea igual o mayor que N/2. Ese valor o intervalo contiene a la mediana.
Ejemplo (discreto): Con la tabla de hermanos (N=15, N/2=7.5).
| Hermanos (xᵢ) | fᵢ | Fᵢ |
|---|---|---|
| 0 | 4 | 4 |
| 1 | 6 | 10 (Fᵢ ≥ 7.5) |
| 2 | 3 | 13 |
| … |
La primera Fᵢ que supera 7.5 es 10, que corresponde al valor xᵢ = 1. Por tanto, la mediana es 1 hermano.
Ejemplo (con intervalos): Con la tabla de alturas (N=30, N/2=15).
| Intervalo | fᵢ | Fᵢ |
|---|---|---|
| [150-158) | 3 | 3 |
| [158-166) | 5 | 8 |
| [166-174) | 7 | 15 (Fᵢ = 15) |
| … |
La primera Fᵢ que es igual o mayor a 15 es justo 15, que corresponde al intervalo [166-174). Por tanto, la mediana está en ese intervalo (entre 166 y 174 cm).
🔁 Cómo calcular la moda
Para datos no agrupados
Es simplemente el valor que más veces aparece. Puede haber más de uno.
Ejemplo: Datos: 2, 3, 5, 3, 7, 3, 8, 5. El 3 aparece 3 veces, el 5 aparece 2 veces. La moda es 3 (unimodal).
Ejemplo bimodal: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Modas: 2 y 4.
Para datos agrupados en tablas
- Discretas: La moda es el valor con la frecuencia absoluta más alta.
- Continuas (con intervalos): Se llama intervalo modal al que tiene mayor frecuencia absoluta.
Ejemplo (discreto): En la tabla de hermanos, la mayor frecuencia es 6 (para xᵢ=1). La moda es 1 hermano.
Ejemplo (con intervalos): En la tabla de alturas, la mayor frecuencia es 7 (en el intervalo [166-174)). Ese es el intervalo modal.
⚖️ ¿Cuándo usar cada medida?
Cada medida tiene sus puntos fuertes y débiles. La elección depende de la naturaleza de tus datos y de lo que quieras comunicar.
📈 Media
Úsala cuando: Los datos son simétricos y no hay valores atípicos (outliers).
Ventaja: Utiliza toda la información.
Inconveniente: Muy sensible a valores extremos. En una clase con notas {5,6,5,7,2}, la media es 5, pero si añadimos un 0, baja a 4.16.
📏 Mediana
Úsala cuando: Hay valores extremos (salarios, precios de casas) o la distribución es asimétrica.
Ventaja: Robusta a outliers.
Inconveniente: Ignora la mayoría de los valores, solo mira el centro.
🔁 Moda
Úsala cuando: Los datos son cualitativos (no se puede calcular la media) o queremos saber lo más frecuente.
Ventaja: Útil para datos categóricos.
Inconveniente: Puede no ser única o no existir.
💡 Ejemplo del mundo real: Salarios en una empresa
En una startup con 5 empleados, los salarios son: 30.000€, 30.000€, 35.000€, 40.000€ y 200.000€ (el CEO).
– Media: (30+30+35+40+200)/5 = 67.000€. ¡Una cifra que no representa a casi nadie!
– Mediana: El valor central (35.000€) representa mucho mejor al empleado típico.
– Moda: 30.000€, que es el sueldo más común.
🧠 Ejercicios prácticos
Ejercicio 1: Calcula las tres medidas
Las edades de 9 personas son: 12, 15, 12, 14, 17, 19, 12, 16, 14. Calcula la media, mediana y moda.
✅ Ver solución
Ordenados: 12, 12, 12, 14, 14, 15, 16, 17, 19.
- Media: (12+12+12+14+14+15+16+17+19) / 9 = 131 / 9 ≈ 14.56 años.
- Mediana: Posición (9+1)/2 = 5. El 5º valor es 14 años.
- Moda: El valor que más se repite es 12 años (3 veces).
Ejercicio 2: Datos agrupados discretos
La tabla muestra el número de mascotas por familia. Calcula la media, mediana y moda.
| Mascotas (xᵢ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Familias (fᵢ) | 8 | 12 | 9 | 4 | 2 |
✅ Ver solución
N = 8+12+9+4+2 = 35.
- Media: Σ(xᵢ·fᵢ) = (0·8)+(1·12)+(2·9)+(3·4)+(4·2) = 0+12+18+12+8 = 50. x̄ = 50/35 ≈ 1.43 mascotas.
- Mediana: N/2 = 17.5. Buscamos Fᵢ: 0→8, 1→20 (supera 17.5). La mediana es 1 mascota.
- Moda: La mayor frecuencia es 12 (para xᵢ=1). La moda es 1 mascota.
Ejercicio 3: Datos agrupados en intervalos
Calcula la media (usando la marca de clase) y señala el intervalo modal y el intervalo mediano de la siguiente distribución de pesos.
| Peso (kg) | [50-60) | [60-70) | [70-80) | [80-90) |
|---|---|---|---|---|
| Personas | 5 | 12 | 8 | 5 |
✅ Ver solución
N=30. Marcas de clase: 55, 65, 75, 85.
- Media: Σ(xᵢ·fᵢ) = (55·5)+(65·12)+(75·8)+(85·5) = 275+780+600+425 = 2080. x̄ = 2080/30 ≈ 69.33 kg.
- Intervalo modal: El de mayor frecuencia (12) es [60-70).
- Intervalo mediano: N/2 = 15. Fᵢ: [50-60)→5, [60-70)→17 (supera 15). El intervalo mediano es [60-70).
Ejercicio 4: Decisión sobre qué medida usar
Para los siguientes conjuntos de datos, ¿qué medida de tendencia central (media, mediana o moda) crees que es más representativa y por qué?
- Tiempo (en minutos) que tardan 50 personas en ir al trabajo: 15, 20, 20, 25, 25, 30, 30, 120, 125, … (hay varios valores muy altos).
- Color de pelo de los alumnos de una clase: moreno, rubio, castaño, pelirrojo, moreno, etc.
- Notas de un examen en una clase muy homogénea: 6, 7, 6, 7, 8, 6, 7, 8.
✅ Ver solución
- Mediana. Hay valores extremos (120, 125 minutos) que harían que la media no represente al viajero típico. La mediana es robusta a esos outliers.
- Moda. Los colores de pelo son datos cualitativos. No podemos calcular la media, y la mediana no tiene sentido. La moda nos dice el color más común.
- Media. No hay valores extremos y la distribución es bastante simétrica. La media aprovecha toda la información.
Ejercicio 5: Encuentra el dato que falta
La media de 5 números es 12. Si cuatro de ellos son 10, 12, 14 y 15, ¿cuál es el quinto número?
✅ Ver solución
La suma de los 5 números debe ser Media · N = 12 · 5 = 60.
Suma de los cuatro conocidos = 10 + 12 + 14 + 15 = 51.
El quinto número = 60 – 51 = 9.
📚 Sigue aprendiendo sobre estadística
Ahora que sabes cómo resumir los datos con un solo número, aprende a representarlos gráficamente y a practicar con ejercicios.
- Qué es la estadística: población y muestra – Repasa los conceptos básicos.
- Tablas de frecuencias: cómo hacerlas – La base para organizar los datos antes de calcular la media.
- Gráficos estadísticos: barras, líneas y sectores – Visualiza la distribución de tus datos.
- Ejercicios de estadística resueltos paso a paso – Pon a prueba todo lo aprendido con más ejercicios.
Si necesitas repasar matemáticas básicas, no te pierdas nuestra guía sobre fórmulas geométricas.
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