Comparar y ordenar números racionales
Comparar y ordenar números racionales: ¿qué fracción es mayor?
Ya sabemos qué son los números racionales y cómo ubicarlos en la recta numérica. El siguiente paso natural es compararlos y ordenarlos: saber cuál es mayor, cuál es menor, y cómo disponer varios racionales de menor a mayor. Esta habilidad es esencial para resolver problemas de proporciones, porcentajes y para avanzar en álgebra.
🎯 En este post aprenderás: Cuatro métodos para comparar fracciones (producto cruzado, común denominador, decimales, recta numérica), cómo ordenar listas de racionales, trucos para fracciones con signo, y 5 ejercicios prácticos.
🧭 Lo básico: el orden en los números racionales
Un número racional a/b es mayor que otro c/d si en la recta numérica está situado más a la derecha. Todos los números negativos son menores que cualquier positivo. El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
📌 Reglas generales
- Si dos racionales tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene mayor numerador.
- Si tienen el mismo numerador, es mayor el que tiene menor denominador (porque las partes son más grandes).
- Si son negativos, el orden se invierte: -1/2 es mayor que -3/4 porque está más cerca del cero.
💡 Analogía con la pizza: Si dos pizzas se dividen en el mismo número de porciones (mismo denominador), la que tiene más porciones (numerador mayor) es más grande. Si la porción es más grande (denominador más pequeño), con la misma cantidad de porciones tienes más pizza.
🔧 Método 1: Producto cruzado (el más rápido)
Para comparar a/b y c/d, multiplicamos a × d y b × c. Si a×d > b×c, entonces a/b > c/d. Si son iguales, las fracciones son equivalentes.
Ejemplo: Comparar 3/4 y 5/7.
3×7 = 21, 4×5 = 20. Como 21 > 20, entonces 3/4 > 5/7.
Ejemplo con negativos: Comparar -2/5 y -3/7.
(-2)×7 = -14, 5×(-3) = -15. -14 > -15, por lo tanto -2/5 > -3/7 (correcto, porque -0.4 > -0.428).
Este método evita calcular denominadores comunes y funciona para cualquier par de fracciones, incluso con números negativos. Solo hay que tener cuidado con los signos.
📐 Método 2: Común denominador
Transformamos ambas fracciones a equivalente con el mismo denominador (generalmente el mcm). Luego comparamos los numeradores.
Ejemplo: Comparar 2/3 y 3/5.
mcm(3,5)=15. 2/3 = 10/15; 3/5 = 9/15. Como 10 > 9, entonces 2/3 > 3/5.
Este método es especialmente útil cuando necesitamos comparar más de dos fracciones, porque después de escribir todas con el mismo denominador, ordenarlas es inmediato (solo mirar los numeradores).
💻 Método 3: Conversión a decimales
Dividimos numerador entre denominador y comparamos los decimales. Es práctico cuando los denominadores son grandes o cuando ya tenemos calculadoras.
Ejemplo: Comparar 7/9 y 11/14.
7÷9 ≈ 0.777…, 11÷14 ≈ 0.7857. Como 0.777… < 0.7857, entonces 7/9 < 11/14.
La conversión a decimales también es útil para ubicar rápidamente en la recta numérica, como vimos en el post anterior. Sin embargo, cuidado con las aproximaciones: si los decimales son muy cercanos, mejor usar producto cruzado para evitar errores de redondeo.
📏 Método 4: Recta numérica (visual)
Dibujamos los puntos en la recta. El que está más a la derecha es mayor. Este método es ideal para comparar pocos números y para entender el concepto, pero menos práctico para muchos números o fracciones con denominadores grandes.
📌 Fracciones con denominadores distintos pero cercanos: Si no quieres calcular, puedes pensar en fracciones de referencia: 1/2, 1/4, 3/4. Por ejemplo, 5/8 es mayor que 1/2 porque 5/8 = 0.625 > 0.5.
📊 Ordenar listas de números racionales
Ordenar de menor a mayor significa escribir primero el más pequeño y luego los siguientes hasta el más grande. Para ordenar una lista con varios racionales, el método más sistemático es:
- Separar los negativos, el cero y los positivos (los negativos siempre son menores que los positivos).
- Dentro de los negativos, ordenar de menor a mayor recordando que -3/4 < -1/2 (porque -0.75 < -0.5).
- Dentro de los positivos, usar común denominador o producto cruzado sucesivamente.
- Si hay enteros o decimales, convertirlos a fracción con denominador común.
Ejemplo: Ordenar de menor a mayor: 2/3, -1/2, 5/6, 0, -3/4.
Negativos: -3/4 = -0.75, -1/2 = -0.5. El más pequeño es -3/4, luego -1/2.
Luego 0, luego los positivos: 2/3 ≈ 0.666, 5/6 ≈ 0.833. Orden final: -3/4 < -1/2 < 0 < 2/3 < 5/6.
⚠️ Casos especiales y errores comunes
| Error frecuente | Corrección |
|---|---|
| Creer que fracción con numerador más grande siempre es mayor (sin mirar denominador) | 2/3 es menor que 3/4 aunque 3>2. Siempre hay que considerar el denominador. |
| Ordenar negativos como si fueran positivos | Entre negativos, el de mayor valor absoluto es el menor. -5/6 < -1/3. |
| Olvidar simplificar antes de comparar | Comparar 4/6 y 2/3 directamente: son iguales. Simplifica para evitar confusiones. |
| Usar calculadora y redondear mal | Si 1/3 = 0.333… y 0.3333 redondeado, puede parecer igual a 0.3334. Mejor producto cruzado. |
🧪 5 ejercicios prácticos para comparar y ordenar racionales
📝 Ejercicio 1: Compara usando producto cruzado: a) 5/9 y 4/7, b) 7/12 y 11/18, c) -3/8 y -5/12.
✅ Ver solución
b) 7×18=126, 12×11=132 → 126<132 → 7/12 < 11/18.
c) (-3)×12=-36, 8×(-5)=-40 → -36 > -40 → -3/8 > -5/12.
📝 Ejercicio 2: Convierte a común denominador y compara: 5/6, 7/9, 4/5. ¿Cuál es el mayor?
✅ Ver solución
📝 Ejercicio 3: Ordena de menor a mayor: 3/4, -2/3, 1/2, -5/6, 0, 7/8.
✅ Ver solución
📝 Ejercicio 4: Marta dice que 2/3 es mayor que 3/5 porque 2>3. ¿Es correcto? Explica y calcula el valor correcto.
✅ Ver solución
📝 Ejercicio 5: Coloca el símbolo <, > o =: a) 4/9 ___ 5/11, b) 8/15 ___ 11/20, c) -7/10 ___ -9/13.
✅ Ver solución
b) 8×20=160, 15×11=165 → 160<165 → 8/15 < 11/20.
c) (-7)×13 = -91, 10×(-9) = -90 → -91 < -90 → -7/10 < -9/13.
🌍 Aplicaciones reales de comparar números racionales
- Finanzas: Comparar tasas de interés (2.5% vs 2.75% = 5/200 vs 11/400).
- Cocina: Determinar qué receta lleva más cantidad de un ingrediente (1/3 taza vs 1/4 taza).
- Notas: Comparar calificaciones en diferentes escalas (7/10 vs 4/5).
- Estadística: Comparar proporciones de una muestra (18/50 vs 22/60).
Comparar fracciones es también la base para entender las operaciones de suma y resta, ya que necesitamos un denominador común para operar. Y, por supuesto, practicar con ejercicios resueltos adicionales te dará la soltura necesaria.
📖 Glosario de comparación de racionales
- Producto cruzado: Multiplicar numerador de uno por denominador del otro.
- Común denominador: Transformar fracciones para que tengan el mismo denominador.
- Fracciones equivalentes: Las que representan el mismo valor numérico.
- Orden ascendente: De menor a mayor.
- Orden descendente: De mayor a menor.
🎓 Conclusión
Comparar y ordenar números racionales es una habilidad que dominarás con la práctica. Los cuatro métodos (producto cruzado, común denominador, decimales y recta numérica) son herramientas que puedes elegir según el contexto. Recuerda prestar especial atención a los signos negativos y a no caer en la trampa de comparar numeradores sin mirar denominadores. En los siguientes posts de la serie aprenderás a sumar y restar racionales y pondrás a prueba todo con ejercicios completos resueltos.
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