Ejercicios de números racionales resueltos paso a paso
Ejercicios de números racionales resueltos: practica y domina
Después de aprender qué son los números racionales, cómo ubicarlos en la recta, compararlos y sumarlos y restarlos, llega el momento de practicar con ejercicios resueltos. Esta guía incluye problemas de todos los niveles, desde conversión básica hasta problemas de aplicación real. Cada ejercicio tiene su solución detallada paso a paso para que puedas comprobar tu aprendizaje.
🎯 En este post encontrarás: 10 ejercicios completos (incluyendo representación, ordenación, operaciones combinadas y problemas verbales), soluciones explicadas, trucos para evitar errores y una autoevaluación final.
🧭 Antes de empezar: repaso rápido de conceptos
Un número racional es cualquier número que se puede escribir como fracción a/b con b ≠ 0. Puede ser positivo, negativo o cero. Se representan como fracción, decimal exacto o decimal periódico. Para operar, recuerda:
- Suma/resta: Necesitan común denominador (mcm).
- Comparación: Producto cruzado o común denominador.
- Recta numérica: Divide la unidad según el denominador.
Si alguna fórmula no la recuerdas, consulta los posts específicos enlazados arriba. Ahora, ¡manos a la obra!
📝 Ejercicio 1: Clasificación y conversión de racionales
Enunciado: Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales. Para los racionales, escribe su expresión como fracción simplificada y como decimal (indicando si es exacto o periódico).
a) 0.75 b) 0.333… c) √2 d) -2.5 e) 1.235235235…
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a) 0.75
Es racional (decimal exacto). Fracción: 75/100 = 3/4. Decimal: 0.75 exacto.
b) 0.333…
Racional. Fracción: 1/3. Decimal periódico puro (período 3).
c) √2
Irracional. No se puede expresar como fracción exacta y su decimal no es periódico.
d) -2.5
Racional. Fracción: -5/2. Decimal exacto: -2.5.
e) 1.235235235…
Racional. Decimal periódico mixto (período 235). Fracción: (1235 – 1)/999 = 1234/999. Se puede simplificar? 1234 y 999 no tienen divisores comunes (1234=2×617, 999=3³×37), así que queda 1234/999.
Recuerda que todo decimal exacto o periódico es racional. En el post de representación de racionales explicamos cómo convertir cualquier decimal a fracción.
📝 Ejercicio 2: Ubicación en la recta numérica
Enunciado: Dibuja mentalmente (o en papel) una recta numérica y ubica los siguientes números racionales: 2/3, -1/4, 5/2, -7/4, 0.6. Luego ordénalos de menor a mayor.
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Paso 1: Convertir a decimal para facilitar (opcional)
2/3 ≈ 0.666…, -1/4 = -0.25, 5/2 = 2.5, -7/4 = -1.75, 0.6 = 0.6.
Paso 2: Ubicación aproximada en la recta
-1.75 está entre -2 y -1 (más cerca de -2). -0.25 entre -1 y 0 (cerca de 0). 0.6 entre 0 y 1 (más cerca de 0.5). 0.666… entre 0.6 y 0.7. 2.5 entre 2 y 3.
Paso 3: Orden de menor a mayor
-7/4 < -1/4 < 0.6 < 2/3 < 5/2.
En fracciones: -7/4, -1/4, 3/5 (0.6 = 3/5), 2/3, 5/2.
Explicación del orden de 0.6 y 2/3: 0.6 = 3/5 = 9/15, 2/3 = 10/15 → 9/15 < 10/15.
Para practicar más la ubicación en la recta, revisa el post específico sobre recta numérica.
📝 Ejercicio 3: Comparación y ordenación de fracciones
Enunciado: Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 5/6, 7/9, 11/12, 3/4, 8/15. Utiliza el método del común denominador o producto cruzado.
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Método 1: Común denominador (mcm)
Denominadores: 6,9,12,4,15. Factorizamos:
6=2×3, 9=3², 12=2²×3, 4=2², 15=3×5. mcm = 2²×3²×5 = 4×9×5 = 180.
Convertimos:
5/6 = (5×30)/180 = 150/180
7/9 = (7×20)/180 = 140/180
11/12 = (11×15)/180 = 165/180
3/4 = (3×45)/180 = 135/180
8/15 = (8×12)/180 = 96/180
Ordenando numeradores de mayor a menor: 165 > 150 > 140 > 135 > 96.
Por tanto: 11/12 > 5/6 > 7/9 > 3/4 > 8/15.
Método 2 (producto cruzado rápido para verificar):
Comparamos 11/12 y 5/6: 11×6=66, 12×5=60 → 66>60 → 11/12 > 5/6. Ok.
Este tipo de ejercicio es fundamental antes de pasar a operaciones. Si necesitas más técnicas, consulta el post sobre comparación y orden.
📝 Ejercicio 4: Suma y resta de racionales (con y sin paréntesis)
Enunciado: Calcula y simplifica el resultado:
a) 3/4 + 2/5
b) 7/10 – 3/8
c) 5/6 – (2/3 – 1/2)
d) -2/3 + 1/6 – 3/4
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a) 3/4 + 2/5
mcm(4,5)=20. 3/4 = 15/20, 2/5 = 8/20. Suma: 23/20 (irreducible).
b) 7/10 – 3/8
mcm(10,8)=40. 7/10 = 28/40, 3/8 = 15/40. Resta: 13/40.
c) 5/6 – (2/3 – 1/2)
Primero resolvemos el paréntesis: 2/3 – 1/2 = mcm(3,2)=6 → 4/6 – 3/6 = 1/6.
Entonces 5/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3.
d) -2/3 + 1/6 – 3/4
mcm(3,6,4)=12. Convertimos: -2/3 = -8/12, 1/6 = 2/12, -3/4 = -9/12.
Sumamos: -8+2-9 = -15/12 = -5/4 (simplificando entre 3).
Si tuviste dificultades, repasa el post dedicado a suma y resta donde explicamos con más ejemplos los casos con signos y paréntesis.
📝 Ejercicio 5: Operaciones combinadas con números mixtos
Enunciado: Resuelve las siguientes operaciones con números mixtos. Expresa el resultado como fracción impropia y como número mixto (si procede).
a) 2 1/3 + 1 3/4
b) 3 2/5 – 1 4/7
c) 4 1/2 + 2 1/3 – 1 5/6
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a) 2 1/3 + 1 3/4
Convertimos a impropias: 2 1/3 = 7/3, 1 3/4 = 7/4.
mcm(3,4)=12 → 28/12 + 21/12 = 49/12. Como mixto: 49÷12 = 4 resto 1 → 4 1/12.
b) 3 2/5 – 1 4/7
3 2/5 = 17/5, 1 4/7 = 11/7. mcm(5,7)=35 → 119/35 – 55/35 = 64/35. Mixto: 1 29/35 (64÷35=1 resto 29).
c) 4 1/2 + 2 1/3 – 1 5/6
Impropias: 4 1/2 = 9/2, 2 1/3 = 7/3, 1 5/6 = 11/6. mcm(2,3,6)=6.
9/2 = 27/6, 7/3 = 14/6, 11/6 = 11/6. Operación: 27/6 + 14/6 – 11/6 = (27+14-11)/6 = 30/6 = 5. Entero, no mixto (5 = 5/1).
📝 Ejercicio 6: Problema de aplicación con fracciones (receta de cocina)
Enunciado: Una receta de bizcocho requiere 3/4 de taza de azúcar, 1/2 taza de harina y 1/3 taza de leche. Si queremos hacer una receta y media (1.5 veces la cantidad original), ¿cuánta azúcar, harina y leche necesitaremos en total? Expresa el resultado como fracción mixta.
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Paso 1: Calcular cada ingrediente multiplicando por 3/2 (1.5)
Azúcar: (3/4) × (3/2) = 9/8 = 1 1/8 tazas.
Harina: (1/2) × (3/2) = 3/4 taza.
Leche: (1/3) × (3/2) = 3/6 = 1/2 taza.
Paso 2: Sumar las cantidades totales (aunque la pregunta pide cada una por separado, también podemos sumar)
Total de ingredientes: 9/8 + 3/4 + 1/2 = común denominador 8: 9/8 + 6/8 + 4/8 = 19/8 = 2 3/8 tazas.
Respuesta: Necesitamos 1 1/8 tazas de azúcar, 3/4 taza de harina y 1/2 taza de leche. En total 2 3/8 tazas de ingredientes.
📝 Ejercicio 7: Problema de comparación de descuentos
Enunciado: Dos tiendas ofrecen el mismo producto. Tienda A: 2/5 de descuento. Tienda B: 3/7 de descuento. ¿Qué tienda ofrece mayor descuento? ¿Cuál es la diferencia entre ambos descuentos expresada como fracción?
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Comparar 2/5 y 3/7: Producto cruzado: 2×7=14, 5×3=15. Como 14 < 15, entonces 2/5 < 3/7. Por tanto, la tienda B ofrece mayor descuento.
Diferencia: 3/7 – 2/5 = mcm(7,5)=35 → 15/35 – 14/35 = 1/35.
La diferencia entre los descuentos es de 1/35 (aproximadamente un 2.86%).
📝 Ejercicio 8: Suma de tres fracciones con denominadores diferentes
Enunciado: Calcula la siguiente suma: 2/3 + 4/5 + 1/2. Expresa el resultado como fracción irreducible y como decimal.
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mcm(3,5,2)=30. Convertimos:
2/3 = 20/30, 4/5 = 24/30, 1/2 = 15/30.
Suma: (20+24+15)/30 = 59/30. 59 es primo, no se simplifica.
Decimal: 59÷30 = 1.9666… = 1.96 (periódico mixto).
📝 Ejercicio 9: Resta con signos y paréntesis anidados
Enunciado: Simplifica la expresión: 1/2 – [3/4 – (2/3 – 1/6)]
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Empezamos desde el paréntesis interior: 2/3 – 1/6 = mcm(3,6)=6 → 4/6 – 1/6 = 3/6 = 1/2.
Ahora: 3/4 – (1/2) = 3/4 – 2/4 = 1/4.
Finalmente: 1/2 – [1/4] = 2/4 – 1/4 = 1/4.
📝 Ejercicio 10: Problema de reparto de herencia
Enunciado: Una herencia se reparte de la siguiente forma: 2/5 para el hijo mayor, 1/3 para el segundo y el resto para el hijo menor. ¿Qué fracción recibe el hijo menor? Si la herencia total es de 30.000 €, ¿cuánto dinero recibe cada uno?
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Fracción del menor: 1 – (2/5 + 1/3). Primero sumamos las fracciones de los dos mayores: mcm(5,3)=15 → 6/15 + 5/15 = 11/15. Por tanto, el menor recibe 1 – 11/15 = 4/15.
Cantidades en euros:
Hijo mayor: (2/5)×30000 = 12000 €.
Segundo: (1/3)×30000 = 10000 €.
Menor: (4/15)×30000 = 8000 €.
Comprobación: 12000+10000+8000=30000 €.
📊 Tabla resumen de métodos para resolver ejercicios
| Tipo de ejercicio | Método recomendado | Ejemplo de referencia |
|---|---|---|
| Conversión fracción ⇔ decimal | División o regla de los 9/90 | Ejercicio 1 |
| Ubicación en recta numérica | Convertir a decimal y dividir segmentos | Ejercicio 2 |
| Comparación de fracciones | Producto cruzado o común denominador | Ejercicio 3 |
| Suma/resta de fracciones | mcm de denominadores | Ejercicio 4 |
| Números mixtos | Convertir a impropias antes de operar | Ejercicio 5 |
| Problemas verbales | Identificar la operación (suma, resta, multiplicación) | Ejercicios 6,7,10 |
📈 Autoevaluación: ¿Qué nivel has alcanzado?
Responde sinceramente a estas preguntas:
- ¿Puedes convertir cualquier decimal periódico a fracción sin ayuda? (Ejercicio 1)
- ¿Ubicas fracciones como -7/4 en la recta sin dudar? (Ejercicio 2)
- ¿Comparas 7/12 y 9/16 mentalmente? (Ejercicio 3)
- ¿Sumas y restas fracciones con denominadores diferentes sin errores de signo? (Ejercicio 4)
- ¿Resuelves problemas de reparto con fracciones sin dificultad? (Ejercicio 10)
Si has contestado «sí» a al menos 4, ¡estás listo para multiplicación y división de racionales! Si no, repasa los posts anteriores y vuelve a practicar con estos ejercicios.
📌 Consejo final: La clave para dominar los números racionales es la práctica constante. Dedica 15 minutos diarios a resolver 2 o 3 ejercicios similares a los de este post. Con el tiempo, los procedimientos se volverán automáticos.
🌍 Recursos adicionales
Si quieres profundizar, te recomiendo estos enlaces relacionados de nuestro sitio:
- Qué son los números racionales y cómo se representan
- Números racionales en la recta numérica
- Comparar y ordenar números racionales
- Operaciones con números racionales: suma y resta
📚 ¿Necesitas más ejercicios?
Próximamente publicaremos guías de multiplicación y división de racionales, así como ejercicios combinados. ¡No olvides suscribirte para no perderte nada!
📖 Soluciones finales de todos los ejercicios (resumen rápido)
- Ej.1: a) 3/4, b) 1/3, c) irracional, d) -5/2, e) 1234/999
- Ej.2: -7/4 < -1/4 < 3/5 < 2/3 < 5/2
- Ej.3: 11/12 > 5/6 > 7/9 > 3/4 > 8/15
- Ej.4: a) 23/20, b) 13/40, c) 2/3, d) -5/4
- Ej.5: a) 49/12 = 4 1/12, b) 64/35 = 1 29/35, c) 5
- Ej.6: Azúcar 9/8, harina 3/4, leche 1/2, total 19/8 = 2 3/8
- Ej.7: Mayor descuento tienda B (3/7), diferencia 1/35
- Ej.8: 59/30 ≈ 1.9666…
- Ej.9: 1/4
- Ej.10: Menor recibe 4/15 → 8000 €
🎓 Conclusión
Estos 10 ejercicios cubren los aspectos fundamentales de los números racionales. Recuerda que la práctica hace al maestro, y no dudes en volver a consultar los posts teóricos si te surge alguna duda. El dominio de los racionales es una base sólida para el álgebra, las ecuaciones y la resolución de problemas más avanzados. ¡Sigue practicando y no te rindas!
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