Sistemas incompatibles e indeterminados
Sistemas incompatibles e indeterminados
No todos los sistemas de ecuaciones tienen una solución única. A veces no hay ninguna solución (son incompatibles) y otras veces hay infinitas (son compatibles indeterminados). Identificar estos casos es esencial para no quedarte atascado buscando una solución que no existe o para expresar correctamente las infinitas soluciones.
🎯 En este post aprenderás: La clasificación completa de sistemas según su solución, cómo reconocer un sistema incompatible (sin solución), cómo expresar un sistema indeterminado (infinitas soluciones), ejemplos con 2 y 3 incógnitas, y 5 ejercicios para practicar.
🔍 Clasificación de los sistemas lineales
📊 Tres tipos fundamentales
Dependiendo de si tienen solución o no, y cuántas, los sistemas se clasifican en:
- 🔵 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (SCD): Tiene una única solución. Es el caso más común (rectas secantes, planos que se cortan en un punto).
- 🟡 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI): Tiene infinitas soluciones. Ocurre cuando las ecuaciones son dependientes (rectas coincidentes, planos que se cortan en una recta o son el mismo plano).
- 🔴 SISTEMA INCOMPATIBLE (SI): No tiene solución. Las ecuaciones son contradictorias (rectas paralelas no coincidentes, planos paralelos sin puntos comunes).
La clasificación se puede determinar gráficamente (para 2 incógnitas) o mediante el estudio del rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada (teorema de Rouché-Frobenius). En este post nos centraremos en la interpretación práctica y en cómo detectar estos casos al resolver.
📐 Caso 1: Sistema incompatible (sin solución)
❌ ¿Cuándo ocurre?
En un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, ocurre cuando las dos rectas son paralelas y no coincidentes. Es decir, tienen la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen.
Ejemplo clásico:
x + y = 3
x + y = 5
Ambas tienen pendiente -1, pero la primera corta el eje Y en 3 y la segunda en 5. Nunca se cortan.
Ejemplo 1 – Incompatible 2×2
Resuelve:
2x – y = 4
4x – 2y = 10
✅ Ver análisis
Dividimos la segunda ecuación entre 2: 2x – y = 5. La primera es 2x – y = 4. Tenemos la misma expresión (2x – y) igual a dos valores distintos (4 y 5). Imposible. Por tanto, el sistema es incompatible, no tiene solución.
⚠️ Señal de alarma en 2×2: Al resolver por reducción, si obtienes una ecuación del tipo 0 = k (con k ≠ 0), es incompatible. Por ejemplo: al restar las ecuaciones obtienes 0 = 2, imposible.
En sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la incompatibilidad se manifiesta cuando al escalonar aparece una fila del tipo (0 0 0 | d) con d ≠ 0. Esto significa que una ecuación se reduce a 0 = d, una contradicción.
Ejemplo 2 – Incompatible 3×3
Sistema:
x + y + z = 3
2x + 2y + 2z = 5
x – y + z = 1
✅ Ver análisis
La segunda ecuación es el doble de la primera (2x+2y+2z debería ser 2·3=6), pero en realidad es 5. Por tanto, ya hay contradicción: la primera dice que la suma es 3, la segunda que el doble de esa suma es 5 (imposible). El sistema es incompatible. Si escalonamos, la segunda fila se vuelve (0 0 0 | -1).
📐 Caso 2: Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
♾️ ¿Cuándo ocurre?
Ocurre cuando las ecuaciones no son independientes: una ecuación es múltiplo de otra (o combinación lineal de las otras) y no hay contradicción. En 2×2, las dos rectas son coincidentes (la misma recta). En 3×3, puede ser que dos ecuaciones sean equivalentes o que los tres planos se corten en una recta común.
Ejemplo 2×2:
x + y = 2
2x + 2y = 4
La segunda es el doble de la primera → son la misma recta. Infinitas soluciones: todos los puntos (x, y) tales que x+y=2.
Ejemplo 3 – Indeterminado 2×2 con parámetro
Resuelve:
3x – 2y = 1
6x – 4y = 2
✅ Ver solución
Dividimos la segunda entre 2: 3x – 2y = 1, idéntica a la primera. Por tanto, es un sistema compatible indeterminado. Las soluciones se expresan despejando una variable en función de la otra. Por ejemplo: 3x – 2y = 1 → 3x = 1 + 2y → x = (1+2y)/3. Tomando y = t (parámetro real), la solución es: x = (1+2t)/3, y = t. O también podemos expresar y en función de x: y = (3x – 1)/2, x libre.
🧠 Expresión de soluciones indeterminadas: Cuando hay infinitas soluciones, se introduce un parámetro (normalmente t, s, etc.) para las variables libres. El número de parámetros es igual al número de incógnitas menos el número de ecuaciones independientes. En un sistema 2×2 con una sola ecuación independiente, hay 1 parámetro. En 3×3 con rango 2, hay 1 parámetro; con rango 1, hay 2 parámetros.
Ejemplo 4 – Indeterminado 3×3 (planos que se cortan en una recta)
Sistema:
x + y – z = 2
2x – y + z = 1
3x + 0y + 0z = 3 → es x = 1
✅ Ver solución
De la tercera: x = 1. Sustituimos en las dos primeras:
1 + y – z = 2 → y – z = 1 → y = 1 + z
2·1 – y + z = 1 → 2 – y + z = 1 → –y + z = –1 → y – z = 1 (la misma ecuación). Queda una sola ecuación con dos incógnitas: y – z = 1. Tomamos z = t (parámetro), entonces y = 1 + t, x = 1. Solución: (1, 1+t, t). Infinitas soluciones.
📊 Cómo detectar la clase de sistema al resolver
Cuando resuelves un sistema por cualquier método algebraico (sustitución, reducción, Gauss), presta atención a estos patrones:
| Lo que obtienes | Significado | Tipo de sistema |
|---|---|---|
| Un único valor para cada incógnita | Solución única | Compatible determinado (SCD) |
| Una ecuación del tipo 0 = k (k≠0) | Contradicción | Incompatible (SI) |
| Una ecuación 0 = 0 y alguna variable queda libre (depende de un parámetro) | Infinitas soluciones | Compatible indeterminado (SCI) |
🧠 5 Ejercicios para clasificar y resolver
Ejercicio 1 – Clasificar sin resolver (2×2)
Indica si los siguientes sistemas son SCD, SCI o SI:
a) x – 2y = 3 ; 2x – 4y = 6
b) x + y = 1 ; x + y = 2
c) 2x + y = 5 ; x – y = 1
✅ Solución
a) La segunda es el doble de la primera (2x–4y=6 dividido 2 da x–2y=3). Son la misma recta → SCI (infinitas soluciones).
b) Misma estructura x+y igual a 1 y a 2 → contradictorio → SI.
c) Pendientes diferentes ( -2 y 1) → SCD (una solución).
Ejercicio 2 – Resolver y clasificar (2×2)
Resuelve:
4x – 2y = 6
-2x + y = -3
✅ Solución
Multiplicamos la segunda ecuación por 2: -4x + 2y = -6. Sumamos con la primera: (4x–2y)+(-4x+2y)=6+(-6) → 0=0. Esto indica que son la misma recta (la segunda es la primera dividida por -2). Despejamos: 4x – 2y = 6 → 2x – y = 3 → y = 2x – 3. Soluciones: x = t, y = 2t – 3. Sistema compatible indeterminado.
Ejercicio 3 – Sistema 3×3 incompatible
x + y + z = 4
x + y + z = 5
2x – y + 3z = 7
✅ Solución
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias (4 = 5). No hace falta seguir: sistema incompatible. No tiene solución.
Ejercicio 4 – Sistema 3×3 indeterminado (con un parámetro)
x + y – z = 0
2x + 2y – 2z = 0
x – y + z = 2
✅ Solución
La segunda es 2 veces la primera, así que se reduce a dos ecuaciones independientes:
(1) x + y – z = 0
(2) x – y + z = 2
Sumando (1)+(2): 2x = 2 → x = 1. Restando (2)-(1): (x–y+z) – (x+y–z) = 2 – 0 → -2y + 2z = 2 → -y + z = 1 → z = 1 + y. Tomamos y = t, entonces z = 1 + t, x = 1. Solución: (1, t, 1+t). Infinitas soluciones.
Ejercicio 5 – Aplicación real: sistema indeterminado en mezclas
Una empresa produce dos tipos de mezcla. La mezcla A lleva 2 kg de harina y 1 kg de azúcar. La mezcla B lleva 1 kg de harina y 2 kg de azúcar. Queremos obtener una mezcla que tenga 4 kg de harina y 3 kg de azúcar. ¿Es posible? ¿De cuántas formas?
✅ Solución
Sean x = cantidad de mezcla A, y = cantidad de mezcla B.
Harina: 2x + y = 4
Azúcar: x + 2y = 3
Resolvemos: multiplicamos segunda por 2: 2x+4y=6. Restamos primera: (2x+4y)-(2x+y)=6-4 → 3y=2 → y=2/3. Luego 2x + 2/3 = 4 → 2x = 10/3 → x=5/3. Hay una única solución: 5/3 unidades de A y 2/3 de B. Es compatible determinado (no indeterminado). Para que fuera indeterminado necesitaríamos que las ecuaciones fueran dependientes, por ejemplo si ambas proporciones fueran iguales. En este caso no lo es.
🔁 Relación con otros temas
La clasificación que hemos visto es fundamental para:
- Método gráfico: Rectas secantes (SCD), paralelas (SI) o coincidentes (SCI). Revísalo en sistemas: método gráfico.
- Sistemas 3×3: Al resolver por Gauss, la aparición de filas de ceros nos da la pista. Mira sistemas con tres incógnitas.
- Problemas con enunciado: A veces los datos pueden llevar a sistemas sin solución (incompatibles) o con infinitas. Ver ejemplos en problemas de sistemas con enunciado.
- Práctica intensiva: En ejercicios resueltos paso a paso encontrarás más casos de cada tipo.
🚫 Errores comunes al tratar sistemas especiales
- Creer que 0=0 significa «todo número vale»: En realidad, 0=0 nos dice que esa ecuación no aporta información nueva, pero no implica que todas las incógnitas sean libres. Solo las que no quedan determinadas por las ecuaciones restantes.
- No introducir parámetros correctamente: Al expresar infinitas soluciones, debes dejar las variables libres como parámetros (t, s, etc.) y las dependientes en función de ellas. No escribas «x = cualquier número» sin más.
- Confundir incompatible con indeterminado: Recuerda: incompatible es contradicción (0=5); indeterminado es redundancia (0=0) y menos ecuaciones que incógnitas.
- No verificar si una solución paramétrica cumple todas las ecuaciones: Siempre sustituye la expresión general en las ecuaciones originales para asegurar que funciona para todo t.
💡 Consejos para no equivocarte
- Cuando resuelvas por reducción, lleva un registro claro de las operaciones.
- Si obtienes una ecuación como 0=0, no la elimines sin pensar: indica que tienes menos ecuaciones independientes de las que parecía.
- Para sistemas 3×3, usa el método de Gauss y observa la forma escalonada. Si la última fila es todo ceros, hay al menos un grado de libertad.
- Practica la expresión de soluciones con parámetros: escribe siempre «con t ∈ ℝ» para indicar que t es cualquier número real.
📖 Resumen visual rápido
🔵 SCD: Solución única → rango = número de incógnitas = número de ecuaciones independientes.
🟡 SCI: Infinitas soluciones → rango < número de incógnitas, y el sistema es compatible.
🔴 SI: Sin solución → rango de la matriz de coeficientes < rango de la matriz ampliada.
📚 Profundiza en sistemas de ecuaciones
- Sistemas de ecuaciones: método gráfico – Visualiza los tres casos.
- Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas – Amplía a 3 variables.
- Problemas de sistemas de ecuaciones con enunciado – Aplica la clasificación a problemas reales.
- Sistemas incompatibles e indeterminados – (este artículo).
- Ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso – Más práctica con todos los tipos.
🎓 Reto final: Construye un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que sea incompatible. Después, modifica un término independiente para convertirlo en indeterminado. Comprueba tus resultados resolviendo por Gauss.
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