Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas
Cuando das el salto de dos a tres incógnitas, los problemas matemáticos se vuelven más interesantes y también más reales: el precio de tres productos, las coordenadas en el espacio, o el reparto de edades en tres personas. Resolver sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es una habilidad clave en álgebra y prepara el camino para el álgebra lineal y las matrices.
🎯 En este post aprenderás: Cómo plantear un sistema 3×3, los métodos de sustitución, reducción y Gauss, ejemplos desarrollados paso a paso, errores típicos y 5 ejercicios para dominarlos.
🔍 ¿Qué es un sistema 3×3?
📦 Tres ecuaciones, tres incógnitas
Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene la forma general:
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Donde x, y, z son las incógnitas, y los coeficientes a₁…c₃ y los términos independientes d₁, d₂, d₃ son números conocidos. Resolver significa encontrar los valores de (x, y, z) que cumplen las tres ecuaciones a la vez.
Analogía espacial: Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. La solución (si es única) es el punto donde los tres planos se cortan. Puede haber también infinitas soluciones (si los planos se cortan en una recta o son coincidentes) o ninguna solución (planos paralelos o sin intersección común).
📝 Métodos de resolución para sistemas 3×3
Los métodos más utilizados son la sustitución, la reducción (suma/resta) y el método de Gauss (eliminación). Veremos cada uno con un ejemplo.
1. Método de sustitución (paso a paso)
✅ Ejemplo: Resuelve por sustitución
Sistema:
(1) x + y + z = 6
(2) x – y + z = 2
(3) 2x + y – z = 1
Paso 1: Despejamos una incógnita de una ecuación fácil. De (1): x = 6 – y – z
Paso 2: Sustituimos en (2) y (3):
En (2): (6 – y – z) – y + z = 2 → 6 – 2y = 2 → –2y = –4 → y = 2
En (3): 2(6 – y – z) + y – z = 1 → 12 – 2y – 2z + y – z = 1 → 12 – y – 3z = 1 → –y – 3z = –11 → y + 3z = 11
Paso 3: Sustituimos y = 2 en y + 3z = 11 → 2 + 3z = 11 → 3z = 9 → z = 3
Paso 4: Hallamos x: x = 6 – y – z = 6 – 2 – 3 = 1
Solución: x = 1, y = 2, z = 3
Verificación: (1) 1+2+3=6✅; (2) 1–2+3=2✅; (3) 2·1+2–3=1✅
2. Método de reducción (eliminación)
✅ Mismo ejemplo por reducción
Tomamos las ecuaciones originales:
(1) x + y + z = 6
(2) x – y + z = 2
(3) 2x + y – z = 1
Objetivo: Eliminar z primero. Restamos (1) – (2): (x+y+z) – (x–y+z) = 6–2 → 2y = 4 → y = 2
Sumamos (1) + (3): (x+y+z)+(2x+y–z) = 6+1 → 3x + 2y = 7. Sustituimos y=2 → 3x+4=7 → 3x=3 → x=1
Ahora de (1): 1+2+z=6 → z=3. Misma solución.
3. Método de Gauss (eliminación escalonada)
El método de Gauss consiste en transformar el sistema en uno triangular superior (escalonado) mediante operaciones elementales: intercambiar filas, multiplicar una fila por un número, sumar a una fila otra multiplicada por un número. Es el método más sistemático y el que usan las calculadoras.
📐 Matriz aumentada y escalonamiento
Sistema original (mismo ejemplo):
[ 1 1 1 | 6 ] [ 1 -1 1 | 2 ] [ 2 1 -1 | 1 ]
Fila2 ← Fila2 – Fila1 → [0 -2 0 | -4] → y = 2
Fila3 ← Fila3 – 2·Fila1 → [0 -1 -3 | -11]
Ahora trabajamos con fila2 y fila3: Fila3 ← Fila3 – (1/2)·Fila2 (para eliminar y). La última fila da –3z = –9 → z=3, y luego sustitución hacia atrás.
⚠️ Casos especiales en sistemas 3×3
Al igual que en 2×2, pueden aparecer sistemas sin solución o con infinitas soluciones. Esto se detecta al escalonar:
- Incompatible (sin solución): aparece una fila del tipo 0 0 0 | d con d ≠ 0 (contradicción).
- Compatible indeterminado (infinitas soluciones): aparece una fila entera de ceros (0 0 0 | 0), lo que indica que hay una variable libre (por ejemplo, z = t, y se expresan x e y en función de t).
En nuestra web profundizamos en estos casos en sistemas incompatibles e indeterminados.
🧠 Atención: Cuando resuelvas por Gauss, si obtienes una fila de ceros con término independiente distinto de cero → ¡el sistema no tiene solución! Si obtienes una fila de ceros completa → hay infinitas soluciones (necesitas un parámetro).
🎯 Problema real: Edades, precios y coordenadas
Ejemplo contextualizado
En una tienda, tres amigos compran: Ana paga 8€ por 2 agendas, 1 bolígrafo y 3 libretas. Luis paga 9€ por 1 agenda, 2 bolígrafos y 2 libretas. Carla paga 7€ por 3 agendas, 1 bolígrafo y 1 libreta. ¿Cuánto cuesta cada artículo?
Planteamiento: Sea x = precio agenda, y = bolígrafo, z = libreta.
(1) 2x + y + 3z = 8
(2) x + 2y + 2z = 9
(3) 3x + y + z = 7
✅ Ver solución
Resolvemos por reducción. Restamos (2) de (1) multiplicada? Mejor usar Gauss:
[2 1 3 | 8] [1 2 2 | 9] [3 1 1 | 7] Intercambiamos fila1 y fila2 para tener 1 arriba: [1 2 2 | 9] [2 1 3 | 8] [3 1 1 | 7] Fila2 ← Fila2 – 2Fila1 → [0 -3 -1 | -10] Fila3 ← Fila3 – 3Fila1 → [0 -5 -5 | -20] (simplificamos dividiendo -5: [0 1 1 | 4]) Ahora Fila3 ← Fila3 – (1/3)Fila2? Mejor despejamos: de fila2: -3y – z = -10 → 3y + z = 10. De fila3: y + z = 4 → restamos: (3y+z) – (y+z) = 10–4 → 2y=6 → y=3. Luego y+z=4 → z=1. De (1): x+2·3+2·1=9 → x+6+2=9 → x=1. Solución: agenda = 1€, bolígrafo = 3€, libreta = 1€. Verificación en (1): 2·1+3+3·1=2+3+3=8✅.
🧠 5 Ejercicios resueltos paso a paso (practica antes de ver)
Ejercicio 1 – Sistema básico
Resuelve:
x + y + z = 3
2x – y + z = 2
x + 2y – z = 1
✅ Solución
Sumamos 1ª y 3ª: (x+y+z)+(x+2y–z)=3+1 → 2x+3y=4 (A). Sumamos 2ª y 3ª: (2x–y+z)+(x+2y–z)=2+1 → 3x+y=3 (B). De B: y=3–3x. En A: 2x+3(3–3x)=4 → 2x+9–9x=4 → –7x= –5 → x=5/7. y=3–15/7=21/7–15/7=6/7. De 1ª: 5/7+6/7+z=3 → 11/7+z=21/7 → z=10/7. Solución: (5/7, 6/7, 10/7).
Ejercicio 2 – Sin solución (incompatible)
x + y + z = 1
x + y + z = 2
2x – y + z = 0
✅ Solución
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias (1 = 2). Por tanto, el sistema es incompatible, no tiene solución.
Ejercicio 3 – Infinitas soluciones
x – y + z = 0
2x – 2y + 2z = 0
x + y – z = 2
✅ Solución
La segunda ecuación es 2 veces la primera, así que se reduce a dos ecuaciones independientes: x – y + z = 0 y x + y – z = 2. Sumando: 2x = 2 → x=1. Restando (segunda menos primera): (x+y–z)–(x–y+z)=2–0 → 2y–2z=2 → y–z=1 → y = z+1. Tomando z = t (parámetro), entonces y = t+1, x=1. Infinitas soluciones: (1, t+1, t).
Ejercicio 4 – Uso de fracciones
2x + 3y – z = 5
4x – y + 2z = 3
x + 2y + 3z = 4
✅ Solución
Multiplicamos tercera por 2: 2x+4y+6z=8. Restamos primera: (2x+4y+6z)-(2x+3y–z)=8–5 → y+7z=3 → y=3–7z. Sustituimos en tercera: x+2(3–7z)+3z=4 → x+6–14z+3z=4 → x –11z = –2 → x=11z–2. Sustituimos en segunda: 4(11z–2) – (3–7z) +2z = 3 → 44z–8 –3+7z+2z=3 → 53z –11 = 3 → 53z = 14 → z=14/53. Luego y=3–98/53= (159–98)/53=61/53. x=11·14/53 –2 = 154/53 – 106/53 = 48/53. Solución: (48/53, 61/53, 14/53).
Ejercicio 5 – Problema de tres números
La suma de tres números es 15. El segundo es el doble del primero. El tercero es 5 unidades menor que la suma de los otros dos. Encuentra los números.
✅ Solución
Sean x, y, z. Ecuaciones:
(1) x+y+z=15
(2) y = 2x
(3) z = x+y – 5
Sustituimos (2) en (1) y (3): (1) x+2x+z=15 → 3x+z=15. (3) z = x+2x–5 = 3x–5. Luego en (1): 3x+(3x–5)=15 → 6x=20 → x=10/3≈3.333. y=20/3≈6.667. z=3·(10/3)–5=10–5=5. Solución: (10/3, 20/3, 5).
📊 Tabla comparativa de métodos para sistemas 3x3
| Método | Ventajas | Inconvenientes |
|---|---|---|
| Sustitución | Ideal cuando una ecuación tiene una variable con coeficiente 1 | Puede volverse tedioso con muchas fracciones |
| Reducción (eliminación) | Rápido si los coeficientes son enteros y se cancelan bien | Requiere planificar qué variables eliminar primero |
| Gauss (matriz escalonada) | Más sistemático, fácil de implementar en ordenador, evita confusiones | Requiere práctica para operar con matrices |
🔁 Relación con otros temas
Resolver sistemas 3x3 es el paso previo a conceptos más avanzados como:
- Matrices y determinantes (Regla de Cramer)
- Espacios vectoriales (dependencia lineal, rango)
- Programación lineal con tres variables
Si aún no dominas los sistemas 2x2, te recomendamos repasar el método gráfico y luego practicar con ejercicios resueltos paso a paso.
🚫 Errores frecuentes en sistemas 3x3 y cómo evitarlos
- Perder una ecuación: Al sustituir, asegúrate de usar todas las ecuaciones originales. Un error común es trabajar solo con dos y olvidar la tercera.
- Confundir signos al restar: Escribe claramente la operación: (ecuación) – (otra ecuación) y distribuye el signo menos a todos los términos.
- No verificar la solución: Siempre sustituye en las tres ecuaciones originales. Un pequeño error aritmético puede pasar desapercibido.
- Resolver con decimales aproximados: Mejor trabaja con fracciones. Los decimales arrastran errores.
- No identificar a tiempo un sistema incompatible o indeterminado: Si obtienes una ecuación sin incógnitas pero con resultado distinto de cero, para. Si obtienes 0=0, busca un parámetro.
💡 Consejos para el método de Gauss (eliminación escalonada)
- Escribe siempre la matriz aumentada con claridad.
- Elige como pivote el elemento que sea 1 o el más sencillo (para evitar fracciones).
- Si un pivote es 0, intercambia filas.
- Marca las operaciones que haces (ej: F2 ← F2 – 3·F1).
- Después de escalonar, resuelve de abajo arriba (sustitución regresiva).
🌍 Aplicaciones reales de sistemas 3x3
- Nutrición: Calcular cantidades de alimentos para alcanzar objetivos de proteínas, carbohidratos y grasas.
- Ingeniería eléctrica: Análisis de mallas en circuitos con tres intensidades desconocidas.
- Economía: Modelos de equilibrio general con tres sectores productivos.
- Mezclas: Determinar porcentajes de tres componentes en una aleación o producto químico.
- Geometría: Encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados.
📖 Resumen final
🔑 Puntos clave:
- Un sistema 3x3 puede tener solución única, infinitas o ninguna.
- Los métodos más útiles son sustitución, reducción y Gauss.
- Gauss es el más ordenado y el que menos errores produce si se sigue paso a paso.
- Siempre verifica la solución en las tres ecuaciones originales.
- Practica con problemas de contexto real para fijar el procedimiento.
📚 Continúa aprendiendo sobre sistemas de ecuaciones
- Sistemas de ecuaciones: método gráfico – Visualiza las soluciones.
- Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas – (este artículo).
- Problemas de sistemas de ecuaciones con enunciado – Aplica lo aprendido a situaciones reales.
- Sistemas incompatibles e indeterminados – Identifica los casos especiales.
- Ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos paso a paso – Refuerza con muchos ejercicios.
🎓 Reto para casa: Inventa un problema cotidiano que necesite tres incógnitas (por ejemplo, compra de frutas de tres tipos con precios diferentes) y resuélvelo por el método de Gauss. Comparte tu resultado en clase o con tus compañeros.
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