Progresiones Geométricas: encontrando la razón

📈 Progresiones Geométricas: El poder del crecimiento exponencial

Imagina doblar una hoja de papel 50 veces. ¿Sabías que alcanzaría la altura de la Tierra al Sol? O piensa en cómo una sola bacteria puede convertirse en millones en pocas horas. Estos son ejemplos del increíble poder de las progresiones geométricas, donde cada término se multiplica por una constante, creando un crecimiento que pronto se vuelve explosivo.

🎯 En este post aprenderás: Qué son las progresiones geométricas, cómo encontrar su razón común, cómo calcular cualquier término, cómo sumar sus términos y cómo aplicar este conocimiento a fenómenos reales como el interés compuesto, el crecimiento bacteriano y la propagación de virus.

🔍 ¿Qué es una progresión geométrica?

📊 Multiplicación constante: De lo pequeño a lo enorme

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión numérica en la que el cociente entre cualquier término y su anterior es siempre el mismo. Este cociente constante se llama razón común y se representa con la letra r.

DEFINICIÓN FORMAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Una sucesión a₁, a₂, a₃, …, aₙ es una progresión geométrica si:

a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = … = aₙ/aₙ₋₁ = r (constante)

Donde:
• r es la razón común (constante)
• a₁ es el primer término
• aₙ es el término enésimo
• r ≠ 0 (generalmente)

Ejemplos:
• 2, 4, 8, 16, 32, … → r = 2
• 81, 27, 9, 3, 1, … → r = 1/3
• 5, -10, 20, -40, 80, … → r = -2

Analogía del efecto dominó exponencial: Imagina una fila de fichas de dominó donde cada ficha es el doble de grande que la anterior. La primera ficha mide 1 cm, la segunda 2 cm, la tercera 4 cm, la cuarta 8 cm, etc. El tamaño se multiplica por 2 cada vez (r=2). La ficha número 20 mediría más de 1 km de altura. ¡Eso es el poder de una progresión geométrica!

🎲 La analogía del doblado de papel

📏 GROSOR DEL PAPEL

Doblado 0: 0.1 mm
Doblado 1: 0.2 mm (×2)
Doblado 2: 0.4 mm (×2)
Doblado 3: 0.8 mm (×2)
Doblado n: 0.1 × 2ⁿ mm
Interpretación: PG con r=2

🔢 TÉRMINOS DE LA PG

Primer término: a₁ = 0.1
Segundo término: a₂ = 0.1 × 2 = 0.2
Tercer término: a₃ = 0.1 × 2² = 0.4
Cuarto término: a₄ = 0.1 × 2³ = 0.8
Término general: aₙ = 0.1 × 2ⁿ⁻¹
Interpretación: Crecimiento exponencial

🌍 IMPACTO REAL

Doblado 10: ≈ 10 cm
Doblado 20: ≈ 100 m
Doblado 30: ≈ 100 km
Doblado 42: ¡Llegaría a la Luna!
Doblado 50: ¡Al Sol y más allá!
Interpretación: Poder exponencial

📊 Elementos de una progresión geométrica

🎯 Las partes clave que debes conocer

Elemento	Símbolo	Definición	Ejemplo en 3, 6, 12, 24, 48, …
Primer término	a₁	Primer número de la progresión	a₁ = 3
Razón común	r	Cociente constante entre términos	r = 6/3 = 12/6 = 2
Término enésimo	aₙ	Término que ocupa la posición n	aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹
Número de términos	n	Cantidad total de términos (en PG finita)	Para primeros 5 términos: n=5
Último término	aₙ (o a_último)	Último término de una PG finita	En 3,6,12,24,48 → a₅ = 48
Término anterior	aₙ₋₁	Término que precede a aₙ	Si a₄=24 → a₃=12
Término siguiente	aₙ₊₁	Término que sigue a aₙ	Si a₄=24 → a₅=48
Suma de términos	Sₙ	Suma de los primeros n términos	S₅ = 3+6+12+24+48 = 93
Producto de términos	Pₙ	Producto de los primeros n términos	P₅ = 3×6×12×24×48 = 248832

📈 ESTRUCTURA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

   TÉRMINOS:      a₁      a₂      a₃      a₄      a₅     ...    aₙ
   VALORES:       3   →   6   →   12  →   24  →   48  ...  →   3×2ⁿ⁻¹
                   ↗        ↗        ↗        ↗                ↗
   COCIENTES:      ×2       ×2       ×2       ×2              ×2
   
   FÓRMULA DEL TÉRMO GENERAL:
   aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
   aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹
   
   VERIFICACIÓN:
   • Para n=1: a₁ = 3 × 2⁰ = 3 × 1 = 3 ✓
   • Para n=2: a₂ = 3 × 2¹ = 3 × 2 = 6 ✓
   • Para n=3: a₃ = 3 × 2² = 3 × 4 = 12 ✓
   • Para n=4: a₄ = 3 × 2³ = 3 × 8 = 24 ✓

Observaciones importantes:

La razón común (r) puede ser mayor que 1, entre 0 y 1, negativa, o igual a 1
Si |r|>1, la PG es creciente en valor absoluto (explosiva si r>1)
Si 0<|r|<1, la PG es decreciente en valor absoluto (convergente)
Si r=1, la PG es constante (todos los términos iguales)
Si r<0, la PG es alternante (términos cambian de signo)

🎯 Cómo encontrar la razón común (r)

📝 Método paso a paso para calcular r

Método 1: Cuando conoces dos términos consecutivos

Si conoces aₙ y aₙ₊₁ (o aₙ y aₙ₋₁), simplemente divide:

Fórmula: r = aₙ₊₁ / aₙ

Ejemplo: En la PG: 5, 10, 20, 40, …

r = 10 / 5 = 2

r = 20 / 10 = 2

r = 40 / 20 = 2

Conclusión: r = 2

Método 2: Cuando conoces dos términos no consecutivos

Si conoces aₘ y aₙ con m≠n, usa:

Fórmula: rⁿ⁻ᵐ = aₙ / aₘ, entonces r = (aₙ/aₘ)^(1/(n-m))

Ejemplo: En una PG, a₃ = 12 y a₆ = 96

Entre a₃ y a₆ hay 3 saltos: a₆ = a₃ × r³

96 = 12 × r³

r³ = 96/12 = 8

r = ³√8 = 2

Comprobación: De a₃ a a₆: 12→24→48→96 ✓ (multiplicando por 2 cada vez)

Método 3: Cuando conoces el término general

Si aₙ = A × Bⁿ⁻¹, entonces r = B

Ejemplo: aₙ = 5 × 3ⁿ⁻¹

r = 3

Verificación: a₁=5, a₂=15, a₃=45 → r=15/5=3 ✓

Método 4: Comprobación de constancia

Calcula cocientes entre varios pares consecutivos para verificar que r es constante:

Ejemplo: 100, 50, 25, 12.5, 6.25, …

50/100 = 0.5

25/50 = 0.5

12.5/25 = 0.5

6.25/12.5 = 0.5

Conclusión: r = 0.5 (constante) → Es una PG

📐 Fórmula del término general de una PG

🎯 Cómo calcular cualquier término

FÓRMULA FUNDAMENTAL DE UNA PG

Término enésimo (término general):

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Donde:
• aₙ = término que ocupa la posición n
• a₁ = primer término
• r = razón común
• n = posición del término (n ∈ ℕ)

Variantes útiles:
• Si conoces aₘ en lugar de a₁: aₙ = aₘ × rⁿ⁻ᵐ
• Forma alternativa: aₙ = (a₁/r) × rⁿ

Derivación de la fórmula (para entender de dónde viene)

Partimos del primer término a₁ y multiplicamos por r repetidamente:

a₁ = a₁

a₂ = a₁ × r

a₃ = a₂ × r = (a₁ × r) × r = a₁ × r²

a₄ = a₃ × r = (a₁ × r²) × r = a₁ × r³

a₅ = a₄ × r = (a₁ × r³) × r = a₁ × r⁴

…

Patrón: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Explicación: Para llegar al término n, partimos de a₁ y multiplicamos por r exactamente (n-1) veces.

Ejemplo completo de aplicación

Problema: En una PG, a₁ = 2 y r = 3. Encontrar a₈.

Solución:

1. Identificar datos: a₁ = 2, r = 3, n = 8

2. Aplicar fórmula: a₈ = a₁ × r⁷

3. Sustituir: a₈ = 2 × 3⁷

4. Calcular: 3⁷ = 2187 → a₈ = 2 × 2187 = 4374

Verificación: Los primeros términos serían: 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374 ✓

Ejemplo con término intermedio conocido

Problema: En una PG, a₅ = 32 y r = 2. Encontrar a₁₂.

Solución:

1. Identificar datos: a₅ = 32, r = 2, n = 12, m = 5

2. Aplicar fórmula alternativa: aₙ = aₘ × rⁿ⁻ᵐ

3. Sustituir: a₁₂ = a₅ × r⁷

4. Calcular: a₁₂ = 32 × 2⁷ = 32 × 128 = 4096

Verificación: De a₅ a a₁₂ hay 7 saltos de ×2: 32→64→128→256→512→1024→2048→4096 ✓

📊 Suma de los términos de una PG

🎯 Fórmulas para sumar términos geométricos

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica depende del valor de la razón r:

FÓRMULA DE LA SUMA DE UNA PG

Para r ≠ 1:
Sₙ = a₁ × (1 – rⁿ) / (1 – r)

Para r = 1:
Sₙ = n × a₁ (todos los términos son iguales)

Forma alternativa (cuando r > 1):
Sₙ = a₁ × (rⁿ – 1) / (r – 1)

Donde:
• Sₙ = suma de los primeros n términos
• a₁ = primer término
• r = razón común
• n = número de términos sumados

Derivación intuitiva de la fórmula (cuando r ≠ 1)

Sea Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹

Multiplicamos por r: rSₙ = a₁r + a₁r² + a₁r³ + … + a₁rⁿ

Restamos: Sₙ – rSₙ = a₁ – a₁rⁿ

Sₙ(1 – r) = a₁(1 – rⁿ)

Sₙ = a₁(1 – rⁿ)/(1 – r)

¡Elegante! Este truco de multiplicar por r y restar elimina casi todos los términos.

Ejemplo de aplicación de la suma

Problema: Sumar los primeros 6 términos de la PG: 2, 4, 8, 16, …

Solución:

1. Identificar datos: a₁ = 2, r = 2, n = 6

2. Como r>1, usamos: S₆ = a₁ × (r⁶ – 1) / (r – 1)

3. Sustituir: S₆ = 2 × (2⁶ – 1) / (2 – 1)

4. Calcular: 2⁶ = 64 → S₆ = 2 × (64 – 1) / 1 = 2 × 63 = 126

Verificación manual: 2+4+8+16+32+64 = 126 ✓

Ejemplo con r entre 0 y 1

Problema: Sumar los primeros 5 términos de: 100, 50, 25, 12.5, …

Solución:

1. Identificar: a₁ = 100, r = 0.5, n = 5

2. Como r<1, usamos: S₅ = a₁ × (1 - r⁵) / (1 - r)

3. Sustituir: S₅ = 100 × (1 – 0.5⁵) / (1 – 0.5)

4. Calcular: 0.5⁵ = 0.03125 → S₅ = 100 × (1 – 0.03125) / 0.5 = 100 × 0.96875 / 0.5 = 96.875 / 0.5 = 193.75

Verificación: 100+50+25+12.5+6.25 = 193.75 ✓

🔍 Cómo reconocer si una sucesión es una PG

📝 Método de verificación paso a paso

Paso 1: Calcular cocientes entre términos consecutivos

Ejemplo: Dada la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, …

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

Paso 2: Verificar constancia de los cocientes

Todos los cocientes son iguales a 2

→ El cociente es constante

Paso 3: Concluir

Como el cociente entre términos consecutivos es constante,

ES una progresión geométrica

r = 2 (PG creciente)

Paso 4: Encontrar término general

a₁ = 3, r = 2

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹ = 3 × 2ⁿ⁻¹

Verificación: Para n=4: a₄ = 3 × 2³ = 3 × 8 = 24 ✓

Contraejemplo: Cuando NO es una PG

Sucesión: 2, 5, 8, 11, 14, …

Cocientes: 5/2=2.5, 8/5=1.6, 11/8=1.375, 14/11≈1.27

Cocientes: 2.5, 1.6, 1.375, 1.27 → NO son constantes

Conclusión: NO es una PG (en realidad es una progresión aritmética con d=3)

📈 Tipos de progresiones geométricas según r

🎯 Clasificación por comportamiento

📈 r > 1

Tipo: PG creciente explosiva
Comportamiento: Términos aumentan rápidamente
Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, … (r=2)
Gráfica: Curva que se dispara
Aplicación: Crecimiento bacteriano
Límite: aₙ → ∞ cuando n → ∞

📉 0 < r < 1

Tipo: PG decreciente convergente
Comportamiento: Términos disminuyen hacia 0
Ejemplo: 16, 8, 4, 2, 1, … (r=0.5)
Gráfica: Curva que se aplana
Aplicación: Desintegración radiactiva
Límite: aₙ → 0 cuando n → ∞

🔄 r < 0

Tipo: PG alternante
Comportamiento: Términos alternan signo
Ejemplo: 3, -6, 12, -24, 48, … (r=-2)
Gráfica: Oscila positivo/negativo
Aplicación: Patrones oscilatorios
Límite: No converge si |r|>1

📏 r = 1

Tipo: PG constante
Comportamiento: Todos iguales
Ejemplo: 5, 5, 5, 5, 5, …
Gráfica: Línea horizontal
Aplicación: Pago constante
Límite: Siempre igual

📐 r = 0

Tipo: PG degenerada
Comportamiento: a₁ seguido de ceros
Ejemplo: 7, 0, 0, 0, 0, …
Gráfica: Caída brusca a cero
Aplicación: Caso especial
Nota: No es PG estándar

📊 -1 < r < 0

Tipo: PG alternante convergente
Comportamiento: Oscila disminuyendo hacia 0
Ejemplo: 12, -6, 3, -1.5, 0.75, … (r=-0.5)
Gráfica: Oscilación amortiguada
Aplicación: Sistemas amortiguados
Límite: aₙ → 0 cuando n → ∞

📈 COMPARACIÓN GRÁFICA DE COMPORTAMIENTOS

r > 1
Explosivo

0 < r < 1
Convergente

r < 0
Alternante

🌍 Aplicaciones prácticas de las progresiones geométricas

1. Aplicaciones en finanzas: Interés compuesto

Aplicación	PG correspondiente	Término general	Ejemplo numérico
Interés compuesto anual	1000, 1050, 1102.5, 1157.63, …	aₙ = 1000 × (1.05)ⁿ⁻¹	5% interés anual, empezando con 1000€
Inversión que duplica	500, 1000, 2000, 4000, …	aₙ = 500 × 2ⁿ⁻¹	Inversión que se duplica cada periodo
Depreciación geométrica	10000, 8000, 6400, 5120, …	aₙ = 10000 × (0.8)ⁿ⁻¹	Activo pierde 20% de valor cada año
Ahorro con rendimiento	100, 105, 110.25, 115.76, …	aₙ = 100 × (1.05)ⁿ⁻¹	100€ con 5% rendimiento anual
Préstamo con interés	1000, 1070, 1144.9, 1225.04, …	aₙ = 1000 × (1.07)ⁿ⁻¹	Préstamo al 7% de interés anual

2. Aplicaciones en biología y población

Aplicación	PG correspondiente	Término general	Ejemplo numérico
Crecimiento bacteriano	1, 2, 4, 8, 16, …	aₙ = 1 × 2ⁿ⁻¹	Bacterias que se duplican cada hora
Población con tasa crecimiento	1000, 1030, 1060.9, 1092.73, …	aₙ = 1000 × (1.03)ⁿ⁻¹	Población crece 3% anual
Propagación de epidemia	1, 3, 9, 27, 81, …	aₙ = 1 × 3ⁿ⁻¹	Cada infectado contagia a 3 personas
Desintegración radiactiva	100, 50, 25, 12.5, 6.25, …	aₙ = 100 × (0.5)ⁿ⁻¹	Material con vida media constante
Cadenas alimenticias	1000, 100, 10, 1, 0.1, …	aₙ = 1000 × (0.1)ⁿ⁻¹	Pérdida de energía por nivel trófico

3. Aplicaciones en física y tecnología

Aplicación	PG correspondiente	Término general	Ejemplo numérico
Rebote de pelota	10, 6, 3.6, 2.16, 1.296, …	aₙ = 10 × (0.6)ⁿ⁻¹	Pelota pierde 40% de altura cada rebote
Amplificación electrónica	0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, …	aₙ = 0.001 × 10ⁿ⁻¹	Señal amplificada ×10 cada etapa
Reducción de ruido	100, 90, 81, 72.9, 65.61, …	aₙ = 100 × (0.9)ⁿ⁻¹	Material reduce 10% de ruido por capa
Transmisión de datos	1, 2, 4, 8, 16, …	aₙ = 1 × 2ⁿ⁻¹	Datos que se duplican cada periodo
Proceso fractal	1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, …	aₙ = 1 × (1/3)ⁿ⁻¹	Patrón que se reduce a 1/3 cada iteración

🧮 Ejercicios prácticos

Ejercicio 1: Identificación y cálculo de r

Para cada sucesión, indica si es una PG y, en caso afirmativo, calcula r:

2, 4, 8, 16, 32, …
3, 6, 9, 12, 15, …
100, 50, 25, 12.5, 6.25, …
5, 10, 20, 40, 80, …
1, 4, 9, 16, 25, …
81, 27, 9, 3, 1, …
2, -4, 8, -16, 32, …
7, 14, 28, 56, 112, …
1, 1, 1, 1, 1, …
1000, 100, 10, 1, 0.1, …

✅ Ver solución

2,4,8,16,32: Sí PG, r=2
3,6,9,12,15: No PG (es PA con d=3)
100,50,25,12.5,6.25: Sí PG, r=0.5
5,10,20,40,80: Sí PG, r=2
1,4,9,16,25: No PG (es cuadrática aₙ=n²)
81,27,9,3,1: Sí PG, r=1/3
2,-4,8,-16,32: Sí PG, r=-2
7,14,28,56,112: Sí PG, r=2
1,1,1,1,1: Sí PG, r=1
1000,100,10,1,0.1: Sí PG, r=0.1

Ejercicio 2: Cálculo del término general

Para cada PG, encuentra el término general aₙ:

a₁ = 3, r = 2
a₁ = 10, r = 0.5
a₁ = 5, r = -3
a₁ = 100, r = 1.1
a₁ = 2, r = 10
a₃ = 12, r = 2
a₂ = 6, r = 3
a₄ = 54, r = 3
a₁ = 1, r = 1
a₅ = 16, r = 2

✅ Ver solución

a₁=3,r=2: aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹
a₁=10,r=0.5: aₙ = 10 × (0.5)ⁿ⁻¹
a₁=5,r=-3: aₙ = 5 × (-3)ⁿ⁻¹
a₁=100,r=1.1: aₙ = 100 × (1.1)ⁿ⁻¹
a₁=2,r=10: aₙ = 2 × 10ⁿ⁻¹
a₃=12,r=2: a₁ = a₃/r² = 12/4=3 → aₙ=3×2ⁿ⁻¹
a₂=6,r=3: a₁ = a₂/r = 6/3=2 → aₙ=2×3ⁿ⁻¹
a₄=54,r=3: a₁ = a₄/r³ = 54/27=2 → aₙ=2×3ⁿ⁻¹
a₁=1,r=1: aₙ = 1
a₅=16,r=2: a₁ = a₅/r⁴ = 16/16=1 → aₙ=1×2ⁿ⁻¹

Ejercicio 3: Cálculo de términos específicos

Dadas las siguientes PGs, calcula los términos pedidos:

PG: 2, 4, 8, 16, … → Calcula a₁₀, a₁₅, a₂₀
PG: 100, 50, 25, 12.5, … → Calcula a₈, a₁₀, a₁₂
PG con a₁=3 y r=4 → Calcula a₆, a₈, a₁₀
PG con a₁=1000 y r=0.9 → Calcula a₅, a₁₀, a₂₀
PG con a₂=6 y r=2 → Calcula a₇, a₁₀, a₁₅

✅ Ver solución

2,4,8,16: r=2, aₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ → a₁₀=2¹⁰=1024, a₁₅=32768, a₂₀=1048576
100,50,25,12.5: r=0.5, aₙ=100×(0.5)ⁿ⁻¹ → a₈=100×(0.5)⁷=100×0.0078125=0.78125, a₁₀=0.1953125, a₁₂≈0.048828
a₁=3,r=4: aₙ=3×4ⁿ⁻¹ → a₆=3×4⁵=3×1024=3072, a₈=3×4⁷=3×16384=49152, a₁₀=3×4⁹=3×262144=786432
a₁=1000,r=0.9: aₙ=1000×(0.9)ⁿ⁻¹ → a₅=1000×0.9⁴=1000×0.6561=656.1, a₁₀=1000×0.9⁹≈1000×0.3874=387.4, a₂₀=1000×0.9¹⁹≈1000×0.1351=135.1
a₂=6,r=2: a₁=6/2=3 → aₙ=3×2ⁿ⁻¹ → a₇=3×2⁶=3×64=192, a₁₀=3×2⁹=3×512=1536, a₁₅=3×2¹⁴=3×16384=49152

Ejercicio 4: Suma de términos de una PG

Calcula la suma de los términos indicados:

PG: 2, 4, 8, 16, … → S₁₀
PG: 100, 50, 25, 12.5, … → S₈
PG con a₁=3, r=2 → S₆
PG con a₁=100, r=0.5 → S₁₀
PG: 5, 10, 20, 40, … → S₈
PG: 1, -2, 4, -8, 16, … → S₆
PG con a₁=1, r=3 → S₅
PG con a₁=1000, r=1.1 → S₅
Suma de: 1 + 2 + 4 + 8 + … + 512
Suma de: 1000 + 100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01

✅ Ver solución

S₁₀: a₁=2,r=2>1 → S₁₀=2×(2¹⁰-1)/(2-1)=2×(1024-1)=2×1023=2046
S₈: a₁=100,r=0.5<1 → S₈=100×(1-0.5⁸)/(1-0.5)=100×(1-0.00390625)/0.5=100×0.99609375/0.5=199.21875
S₆: S₆=3×(2⁶-1)/(2-1)=3×(64-1)=3×63=189
S₁₀: S₁₀=100×(1-0.5¹⁰)/(1-0.5)=100×(1-0.0009765625)/0.5=100×0.9990234375/0.5=199.8046875
S₈: a₁=5,r=2 → S₈=5×(2⁸-1)/(2-1)=5×(256-1)=5×255=1275
S₆: a₁=1,r=-2 → S₆=1×[1-(-2)⁶]/[1-(-2)]=[1-64]/3=-63/3=-21
S₅: S₅=1×(3⁵-1)/(3-1)=(243-1)/2=242/2=121
S₅: S₅=1000×(1.1⁵-1)/(1.1-1)=1000×(1.61051-1)/0.1=1000×0.61051/0.1=6105.1
1+2+4+…+512: Es PG con a₁=1,r=2. 512=2⁹ → n=10 → S₁₀=1×(2¹⁰-1)/(2-1)=1024-1=1023
1000+100+10+1+0.1+0.01: PG con a₁=1000,r=0.1,n=6 → S₆=1000×(1-0.1⁶)/(1-0.1)=1000×(1-0.000001)/0.9=1000×0.999999/0.9≈1111.11

Ejercicio 5: Problemas de aplicación

Una bacteria se duplica cada hora. Si empieza con 1 bacteria, ¿cuántas habrá después de 8 horas? ¿Cuántas después de 24 horas?
Inviertes 1000€ al 5% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tendrás después de 10 años? (Fórmula: C = C₀×(1+i)ⁿ)
Una pelota se deja caer desde 10m de altura. En cada rebote, alcanza el 60% de la altura anterior. ¿Qué altura alcanzará en el 5º rebote?
Un material radiactivo tiene una vida media de 3 años (pierde la mitad cada 3 años). Si empieza con 800g, ¿cuánto quedará después de 12 años?
Una noticia se propaga de forma que cada persona se lo cuenta a 3 personas en una hora. Si empieza con 1 persona que sabe la noticia, ¿cuántas la sabrán después de 6 horas?

✅ Ver solución

Bacterias: PG con a₁=1,r=2. a₉=1×2⁸=256 bacterias (8 horas, n=9 porque hora 0: 1 bacteria). a₂₅=1×2²⁴=16,777,216 bacterias.
Inversión: PG con a₁=1000,r=1.05. a₁₁=1000×1.05¹⁰≈1000×1.62889=1628.89€ (10 años, n=11 porque año 0: 1000€).
Rebote pelota: PG con a₁=10,r=0.6. a₆=10×0.6⁵=10×0.07776=0.7776m (5º rebote, n=6 porque 1er rebote es a₂).
Material radiactivo: Cada 3 años se reduce a la mitad. En 12 años hay 4 periodos de 3 años. PG con a₁=800,r=0.5. a₅=800×0.5⁴=800×0.0625=50g.
Propagación noticia: PG con a₁=1,r=3. a₇=1×3⁶=729 personas (6 horas, n=7 porque hora 0: 1 persona).

⚠️ Errores comunes con progresiones geométricas

Error	Ejemplo incorrecto	Explicación correcta	Cómo evitarlo
Confundir PG con PA	En 2,4,8,16,… calcular diferencias (2,4,8) y decir que es PA	Calcular cocientes: 4/2=2, 8/4=2 → es PG con r=2	Siempre calcular cocientes además de diferencias
Error en exponente	Usar aₙ = a₁ × rⁿ	Fórmula correcta: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹	Verificar con n=1: debe dar a₁
Error al calcular r	En 100,50,25,… calcular r=50-100=-50	En PG se calcula cociente: r=50/100=0.5	Recordar: en PG es DIVISIÓN, no resta
Usar fórmula suma incorrecta	Para r=1, usar Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r)	Para r=1: Sₙ = n × a₁ (división por cero en fórmula general)	Verificar siempre si r=1 antes de aplicar fórmula
Error al simplificar	En aₙ=2×3ⁿ⁻¹, para n=3 calcular 2×3²=2×9=18 y decir a₃=6	3²=9, no 3 → 2×9=18 es correcto	Calcular cuidadosamente potencias
Confundir crecimiento	Creer que PG con r=1.1 crece más lento que PA con d=10	PG con r>1 eventualmente supera a cualquier PA (crecimiento exponencial vs lineal)	Recordar: PG puede empezar lento pero luego explota
No considerar signo de r	En 3,-6,12,-24,… decir r=2	r=-6/3=-2 (signo negativo importante)	Incluir signo al calcular r

🎓 Resumen: Claves para dominar las progresiones geométricas

📋 Guía rápida de referencia

DEFINICIÓN CLAVE:
Una sucesión es PG si: a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = … = r (constante)

FÓRMULAS PRINCIPALES:
1. Término general: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
2. Variante: aₙ = aₘ × rⁿ⁻ᵐ (si conoces aₘ)
3. Suma (r≠1): Sₙ = a₁ × (1 – rⁿ) / (1 – r)
4. Suma (r>1): Sₙ = a₁ × (rⁿ – 1) / (r – 1)
5. Suma (r=1): Sₙ = n × a₁

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS:
1. Verificar que sea PG (cocientes constantes)
2. Identificar a₁, r, n según lo dado
3. Aplicar fórmula correspondiente
4. Verificar resultado con valores conocidos

TIPOS SEGÚN r:
• r>1 → PG creciente explosiva
• 0 • r<0 → PG alternante
• r=1 → PG constante

💡 Regla mnemotécnica para recordar:
PG: «Multiplica constante» (aₙ = primero × razónᵖᵒˢⁱᶜⁱᵒⁿ⁻¹)
PA vs PG: «PA suma, PG multiplica»
Fórmula suma PG: «a₁ por (1 menos rⁿ) sobre (1 menos r)»
Crecimiento: «PG exponencial supera siempre a PA lineal a largo plazo»

📖 Glosario de términos de progresiones geométricas

Término	Definición	Símbolo	Ejemplo
Progresión geométrica (PG)	Sucesión con cociente constante entre términos	PG	2, 4, 8, 16, 32, …
Razón común	Cociente constante entre términos consecutivos	r	En 3,6,12,… → r=2
Término general	Fórmula para calcular cualquier término	aₙ	aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
Primer término	Primer número de la progresión	a₁	En 5,10,20,… → a₁=5
Término enésimo	Término que ocupa la posición n	aₙ	En aₙ=3×2ⁿ⁻¹, a₄=24
Suma de términos	Suma de los primeros n términos	Sₙ	Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r) para r≠1
PG creciente	PG con \|r\|>1 (términos aumentan en valor absoluto)	–	3, 6, 12, 24, … (r=2)
PG decreciente	PG con 0<\|r\|<1 (términos disminuyen)	–	16, 8, 4, 2, … (r=0.5)
PG alternante	PG con r<0 (términos alternan signo)	–	2, -4, 8, -16, … (r=-2)
PG constante	PG con r=1 (todos iguales)	–	7, 7, 7, 7, …
Interpolación geométrica	Insertar términos entre dos dados para formar PG	–	Entre 2 y 32, interpolar 3 términos: 2,4,8,16,32
Medios geométricos	Términos interpolados entre dos extremos	–	Entre 2 y 32: 4,8,16 son medios geométricos
Suma infinita (\|r\|<1)	Suma de todos los términos de PG infinita convergente	S∞	S∞ = a₁/(1-r) para \|r\|<1

🔍 Reto de descubrimiento en tu entorno:

Busca 3 ejemplos reales de progresiones geométricas a tu alrededor.
Para cada ejemplo: Identifica a₁, r y escribe el término general aₙ.
Clasifica cada PG: ¿creciente, decreciente, alternante?
Predice valores futuros usando tu término general.
Calcula sumas parciales relevantes para cada situación.

Las progresiones geométricas modelan fenómenos de crecimiento exponencial: interés compuesto en bancos, propagación de noticias en redes sociales, crecimiento bacteriano en biología, desintegración radiactiva en física. Reconocer estos patrones te ayuda a entender y predecir comportamientos complejos en el mundo real.

📚 Serie completa: Progresiones (Sucesiones)

Este es el cuarto post de la serie sobre progresiones y sucesiones. Continúa aprendiendo sobre este fascinante tema:

Sucesiones numéricas: término general – Post 1: Conceptos básicos de sucesiones
Progresiones Aritméticas: encontrando la diferencia – Post 2: Todo sobre progresiones aritméticas
Problemas de aplicación de las progresiones aritméticas – Post 3: Aplicaciones prácticas de PAs
Progresiones Geométricas: encontrando la razón – ¡Estás aquí! Todo sobre progresiones geométricas
Aplicaciones en la vida real: ahorros, intereses, etc. – Post 5: Aplicaciones prácticas de progresiones

🚀 ¿Listo para las aplicaciones finales? Ahora que dominas tanto las progresiones aritméticas como las geométricas, estás preparado para el post final que combina ambos tipos en aplicaciones prácticas de la vida real. ¡Sigue aprendiendo con nosotros en trasteandoenlaescuela.com!