Física y Química

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA): Ecuaciones y ejercicios

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA): Ecuaciones y ejercicios

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA): Cuando la Velocidad Cambia Constantemente

Cuando dejas caer un objeto, cuando frenas bruscamente en el coche, cuando un cohete despega… en todos estos casos la velocidad no es constante: cambia de manera uniforme. Este es el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), donde la aceleración es constante (no nula). Es el segundo modelo fundamental de la cinemática y nos permite entender fenómenos tan diversos como la caída libre, los lanzamientos o las frenadas de emergencia.

🎯 En este post aprenderás: Las 4 ecuaciones fundamentales del MRUA, cómo representarlo gráficamente, resolver problemas de aceleración constante, y aplicarlo a casos especiales como la caída libre y el lanzamiento vertical.

🎯 ¿Qué es el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)?

📈 «Recta + Aceleración Constante = MRUA»

El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado es aquel en el que un móvil se desplaza en trayectoria recta con aceleración constante (en magnitud y dirección).

✅ Características del MRUA

  • Trayectoria: Rectilínea (línea recta)
  • Aceleración: Constante (a = constante ≠ 0)
  • Velocidad: Cambia linealmente con el tiempo
  • Posición: Cambia cuadráticamente con el tiempo
  • Gráfica x-t: Parábola
  • Gráfica v-t: Línea recta (pendiente = a)
  • Gráfica a-t: Línea horizontal (altura = a)

🚗 Analogía del coche acelerando en recta

RECTA
Autopista sin curvas

TRAYECTORIA
Siempre en línea recta

CONSTANTE
Acelerómetro fijo

ACELERACIÓN
a constante ≠ 0

LINEAL
Velocímetro sube regular

VELOCIDAD
Cambia linealmente: v = v₀ + a·t

Diferencia clave: En MRUA la velocidad cambia, pero lo hace de manera uniforme (aceleración constante).

📐 Las 4 Ecuaciones Fundamentales del MRUA

🧮 El cuarteto de oro del MRUA

1. Ecuación de velocidad

v = v₀ + a·t

Donde:
v = Velocidad en instante t (m/s)
v₀ = Velocidad inicial (m/s) [en t=0]
a = Aceleración (m/s²) [constante]
t = Tiempo transcurrido (s)

2. Ecuación de posición

x = x₀ + v₀·t + ½·a·t²

Donde:
x = Posición en instante t (m)
x₀ = Posición inicial (m) [en t=0]
v₀ = Velocidad inicial (m/s)
a = Aceleración (m/s²)
t = Tiempo transcurrido (s)

3. Ecuación independiente del tiempo

v² = v₀² + 2·a·(x – x₀)

Esta ecuación relaciona velocidad con posición sin necesidad de conocer el tiempo. Muy útil cuando no se conoce t.

4. Ecuación de la posición media

x – x₀ = ½·(v₀ + v)·t

Desplazamiento = velocidad media × tiempo. Se deduce de que en MRUA la velocidad media es (v₀+v)/2.

💡 Truco mnemotécnico:
«V igual a V-cero más A por T»
«X igual a X-cero más V-cero T más medio A T cuadrado»
«V cuadrado igual a V-cero cuadrado más dos A por delta X»

📊 Representación Gráfica del MRUA

🎯 Gráfica Posición-Tiempo (x-t)

Parábola (cuadrática)

📈 Curva parabólica

a>0, v₀>0
a>0, v₀=0
a<0, v₀>0 (frenando)
Tiempo (t)
Posición (x)

Interpretación:
• Forma: Parábola (por el término ½·a·t²)
• Concavidad: Hacia arriba si a>0, hacia abajo si a<0
• Pendiente en cada punto: Velocidad instantánea
• Ordenada en origen: x₀ (posición inicial)
• Pendiente en t=0: v₀ (velocidad inicial)

🎯 Gráfica Velocidad-Tiempo (v-t)

Línea recta (lineal)

📊 Recta con pendiente a

a>0
a=0 (MRU)
a<0
Área = desplazamiento
Tiempo (t)
Velocidad (v)

Interpretación:
• Forma: Línea recta (por v = v₀ + a·t)
• Pendiente: Aceleración (a = Δv/Δt)
• Ordenada en origen: v₀ (velocidad inicial)
• Área bajo curva: Desplazamiento (Δx)
• Intersección con eje t: Instante donde v=0 (si a≠0)

🎯 Gráfica Aceleración-Tiempo (a-t)

Línea horizontal (constante)

📉 Constante a ≠ 0

a = +2 m/s²
a = 0 m/s² (MRU)
a = -3 m/s²
Área = Δv
Tiempo (t)
Aceleración (a)

Interpretación:
• Forma: Línea horizontal (a constante)
• Altura: Valor de la aceleración
• Área bajo curva: Cambio de velocidad (Δv = a·Δt)
• Por encima de cero: a>0 (aceleración)
• Por debajo de cero: a<0 (desaceleración)

📊 Tabla resumen: MRU vs MRUA

Característica MRU MRUA
Aceleración (a) a = 0 a = constante ≠ 0
Velocidad (v) v = constante v = v₀ + a·t
Posición (x) x = x₀ + v·t x = x₀ + v₀·t + ½·a·t²
Gráfica x-t Línea recta Parábola
Gráfica v-t Línea horizontal Línea recta
Gráfica a-t Línea en y=0 Línea horizontal ≠ 0
Desplazamiento Δx = v·Δt Δx = v₀·Δt + ½·a·Δt²
Velocidad media vm = v vm = (v₀ + v)/2
Ejemplos Tren en recta a v cte Caída libre, frenada, cohete

🌍 Casos Especiales de MRUA

🎯 1. Caída Libre (a = g ≈ 9.8 m/s²)

MRUA con aceleración gravitatoria

Cuando un objeto cae verticalmente cerca de la superficie terrestre (sin resistencia del aire):

📐 Ecuaciones de caída libre

v = v₀ + g·t
y = y₀ + v₀·t + ½·g·t²
v² = v₀² + 2·g·(y – y₀)

Convención: Usualmente se toma:
• Eje Y vertical hacia arriba (positivo)
• g = -9.8 m/s² (negativa porque apunta hacia abajo)
• v₀ positiva si se lanza hacia arriba, negativa si hacia abajo

📊 Ejemplo: Objeto que se deja caer desde 100 m
• v₀ = 0 m/s (se deja caer)
• y₀ = 100 m
• g = -9.8 m/s²
Tiempo en caer: 0 = 100 + 0·t + ½·(-9.8)·t² → 4.9t² = 100 → t² ≈ 20.41 → t ≈ 4.52 s
Velocidad al impactar: v = 0 + (-9.8)×4.52 ≈ -44.3 m/s (hacia abajo)

🎯 2. Lanzamiento Vertical hacia Arriba

MRUA con v₀ > 0, a = -g

Cuando se lanza un objeto verticalmente hacia arriba:

✅ Características del lanzamiento vertical

  • En punto más alto: v = 0 m/s (instantáneamente)
  • Tiempo de subida = tiempo de bajada (si vuelve al mismo nivel)
  • Velocidad de retorno = -v₀ (mismo módulo, sentido opuesto)
  • Altura máxima: hmax = v₀²/(2g) (de v² = v₀² + 2·a·Δy con v=0)
  • Tiempo hasta altura máxima: tmax = v₀/g

📊 Ejemplo: Pelota lanzada a 20 m/s hacia arriba
• v₀ = 20 m/s
• g = -9.8 m/s²
Altura máxima: hmax = 20²/(2×9.8) = 400/19.6 ≈ 20.41 m
Tiempo subida: tmax = 20/9.8 ≈ 2.04 s
Tiempo total vuelo: 2 × 2.04 = 4.08 s (si vuelve a punto lanzamiento)
Velocidad retorno: v = -20 m/s (a nivel lanzamiento)

🎯 3. Frenado Uniforme (a < 0, v final = 0)

MRUA hasta detenerse

Cuando un vehículo frena con aceleración constante negativa hasta parar:

📐 Ecuaciones de frenado

v = v₀ + a·t con v=0 → t_frenado = -v₀/a
v² = v₀² + 2·a·Δx con v=0 → Δx_frenado = -v₀²/(2a)

Nota: a es negativa, por eso las fórmulas tienen signos negativos.

📊 Ejemplo: Coche a 90 km/h frena a -5 m/s²
• v₀ = 90 km/h = 25 m/s
• a = -5 m/s²
Tiempo frenado: t = -25/(-5) = 5 s
Distancia frenado: Δx = -25²/(2×(-5)) = -625/(-10) = 62.5 m
Comprobación: v = 25 + (-5)×5 = 25 – 25 = 0 m/s ✓

🧮 Resolución de Problemas de MRUA

🎯 Estrategia general paso a paso

Pasos para resolver cualquier problema de MRUA

  1. Leer y comprender el problema
  2. Identificar datos conocidos (x₀, v₀, a, t, x, v) y desconocidos
  3. Convertir unidades al SI (m, s, m/s, m/s²)
  4. Elegir ecuación que relacione conocidos con desconocido
  5. Sustituir valores en la ecuación
  6. Resolver la ecuación
  7. Interpretar resultado físicamente
  8. Verificar que la respuesta es razonable

💡 ¿Qué ecuación usar?
• Si piden posición o distancia → x = x₀ + v₀t + ½at²
• Si piden velocidad final → v = v₀ + at
• Si no dan tiempo → v² = v₀² + 2a(x-x₀)
• Si piden tiempo → v = v₀ + at o fórmulas cuadráticas

🧪 Ejercicios prácticos de MRUA

Ejercicio 1: MRUA básico

Un coche parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s² en línea recta.

  1. ¿Qué velocidad tendrá a los 10 segundos?
  2. ¿Qué distancia habrá recorrido en esos 10 segundos?
  3. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 100 km/h?
  4. ¿Qué distancia recorrerá hasta alcanzar 100 km/h?
  5. Representa gráficas x-t, v-t y a-t para los primeros 10 s
✅ Ver solución

Solución:

  1. v₀=0, a=2 m/s², t=10 s:
    v = 0 + 2×10 = 20 m/s = 72 km/h
  2. x = 0 + 0×10 + ½×2×10² = 0 + 0 + 1×100 = 100 m
  3. 100 km/h = 27.78 m/s:
    27.78 = 0 + 2t → t = 27.78/2 = 13.89 s
  4. Distancia: x = ½×2×13.89² = 1×192.9 = 192.9 m
  5. Gráficas:
    – x-t: Parábola x=1·t² (puntos: (0,0), (5,25), (10,100))
    – v-t: Recta v=2t (puntos: (0,0), (5,10), (10,20))
    – a-t: Recta horizontal a=2

Ejercicio 2: Frenado uniforme

Un tren que viaja a 108 km/h frena uniformemente con aceleración -1.5 m/s².

  1. ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse?
  2. ¿Qué distancia recorre durante el frenado?
  3. ¿Qué velocidad tendrá cuando haya recorrido 100 m?
  4. ¿A qué distancia estaba cuando empezó a frenar si se detiene justo en una estación?
  5. Si tuviera que frenar en la mitad de distancia, ¿qué aceleración necesitaría?
✅ Ver solución

Solución:

  1. 108 km/h = 30 m/s:
    v = v₀ + at → 0 = 30 + (-1.5)t → 1.5t = 30 → t = 20 s
  2. Distancia: x = v₀t + ½at² = 30×20 + ½×(-1.5)×20² = 600 – 0.75×400 = 600 – 300 = 300 m
    O usando: v² = v₀² + 2aΔx → 0 = 900 + 2(-1.5)Δx → 3Δx = 900 → Δx = 300 m
  3. v² = v₀² + 2aΔx: v² = 900 + 2(-1.5)×100 = 900 – 300 = 600 → v = √600 ≈ 24.5 m/s = 88.2 km/h
  4. 300 m (calculado en b)
  5. Mitad distancia = 150 m:
    v² = v₀² + 2aΔx → 0 = 900 + 2a×150 → 300a = -900 → a = -3 m/s²

Ejercicio 3: Caída libre

Se deja caer una piedra desde lo alto de un edificio de 80 m de altura.

  1. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?
  2. ¿Con qué velocidad impacta?
  3. ¿Qué altura tendrá a los 2 segundos?
  4. ¿Qué velocidad tendrá a los 2 segundos?
  5. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer los últimos 20 m?
✅ Ver solución

Solución: (Tomando g=9.8 m/s², y positivo hacia arriba, y₀=80 m, v₀=0, a=-9.8)

  1. y = y₀ + v₀t + ½at²: 0 = 80 + 0·t + ½(-9.8)t² → 4.9t² = 80 → t² = 80/4.9 ≈ 16.33 → t ≈ 4.04 s
  2. v = v₀ + at = 0 + (-9.8)×4.04 ≈ -39.6 m/s (hacia abajo, ≈142.6 km/h)
  3. y(2) = 80 + 0×2 + ½(-9.8)×2² = 80 – 4.9×4 = 80 – 19.6 = 60.4 m
  4. v(2) = 0 + (-9.8)×2 = -19.6 m/s (hacia abajo)
  5. Últimos 20 m: de y=20 a y=0
    Tiempo total: t_total = √(2×80/9.8) = √(160/9.8) = √16.33 ≈ 4.04 s
    Tiempo hasta y=20: 20 = 80 – 4.9t² → 4.9t² = 60 → t² = 12.24 → t ≈ 3.50 s
    Tiempo últimos 20 m: 4.04 – 3.50 = 0.54 s

Ejercicio 4: Lanzamiento vertical

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad inicial 25 m/s.

  1. ¿Qué altura máxima alcanza?
  2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima?
  3. ¿Cuánto tiempo está en el aire (hasta volver al punto de lanzamiento)?
  4. ¿Qué velocidad tiene cuando está a 20 m de altura (subiendo)?
  5. ¿Qué velocidad tiene cuando está a 20 m de altura (bajando)?
✅ Ver solución

Solución: (g=9.8 m/s²)

  1. Altura máxima (v=0): v² = v₀² + 2aΔy → 0 = 25² + 2(-9.8)Δy → 19.6Δy = 625 → Δy = 625/19.6 ≈ 31.89 m
  2. Tiempo subida: v = v₀ + at → 0 = 25 – 9.8t → t = 25/9.8 ≈ 2.55 s
  3. Tiempo total vuelo: 2 × 2.55 = 5.10 s
  4. Subiendo a y=20 m: v² = 25² + 2(-9.8)×20 = 625 – 392 = 233 → v = √233 ≈ 15.26 m/s (positiva, subiendo)
  5. Bajando a y=20 m: v = -15.26 m/s (mismo módulo, sentido contrario)

Ejercicio 5: Problema integrador con varios MRUA

Un coche parte del reposo con aceleración constante de 3 m/s² durante 8 segundos. Luego mantiene velocidad constante durante 12 segundos. Finalmente, frena uniformemente deteniéndose en 5 segundos.

  1. ¿Qué velocidad máxima alcanza?
  2. ¿Qué distancia recorre en cada fase?
  3. ¿Qué distancia total recorre?
  4. ¿Cuál es la aceleración durante el frenado?
  5. Representa gráficas v-t y x-t de todo el movimiento
✅ Ver solución

Solución:

  1. Fase 1 (aceleración): v_max = 0 + 3×8 = 24 m/s
  2. Distancias:
    – Fase 1: x₁ = 0 + 0×8 + ½×3×8² = 1.5×64 = 96 m
    – Fase 2 (MRU): x₂ = 24×12 = 288 m
    – Fase 3 (frenado): x₃ = v₀t + ½at² (pero a desconocida)
    Primero calcular a: v = v₀ + at → 0 = 24 + a×5 → a = -24/5 = -4.8 m/s²
    x₃ = 24×5 + ½×(-4.8)×5² = 120 – 2.4×25 = 120 – 60 = 60 m
  3. Distancia total: 96 + 288 + 60 = 444 m
  4. Aceleración frenado: a = -4.8 m/s² (calculado en b)
  5. Gráficas:
    – v-t: Segmento de (0,0) a (8,24) pendiente 3, luego horizontal (8,24) a (20,24), luego segmento (20,24) a (25,0) pendiente -4.8
    – x-t: Parábola de 0 a 8 s, luego recta de 8 a 20 s, luego parábola invertida de 20 a 25 s

⚠️ Errores comunes en problemas de MRUA

Error Ejemplo incorrecto Corrección Regla
Olvidar que x es posición, no distancia Usar x-x₀ como distancia recorrida en MRUA con cambio de sentido En MRUA con cambio de sentido, calcular distancia por tramos Distancia ≠ desplazamiento si hay cambio de sentido
Confundir signos de a y g Usar g=+9.8 en caída libre sin definir sistema referencia Definir eje positivo, luego g=-9.8 si positivo es arriba g siempre apunta hacia abajo, el signo depende del sistema
Usar ecuaciones MRU en MRUA Aplicar x=x₀+vt a movimiento acelerado Usar x=x₀+v₀t+½at² si a≠0 Verificar si a=0 (MRU) o a≠0 (MRUA)
No considerar v puede cambiar de signo En lanzamiento vertical, usar v=√(v₀²+2gΔy) sin ± v = ±√(v₀²+2aΔx), signo según sentido En ecuaciones con v², considerar dos soluciones ±
Ignorar tiempo de reacción en frenados Calcular distancia frenado como total para detenerse Distancia total = distancia reacción (MRU) + distancia frenado (MRUA) En frenadas reales hay tiempo de reacción con v constante
No verificar consistencia unidades v en km/h, a en m/s², t en s, x en m Convertir todo a SI: m, s, m/s, m/s² Usar sistema coherente, preferible SI

📖 Glosario de términos sobre MRUA

Término Definición Símbolo En MRUA
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado Movimiento con trayectoria recta y aceleración constante MRUA Definición
Ecuación de velocidad v = v₀ + a·t v(t) Lineal
Ecuación de posición x = x₀ + v₀·t + ½·a·t² x(t) Cuadrática
Ecuación sin tiempo v² = v₀² + 2·a·(x-x₀) – Muy útil
Caída libre MRUA con a = g ≈ 9.8 m/s² g Caso especial
Lanzamiento vertical MRUA con v₀≠0 vertical, a=-g – Caso especial
Altura máxima Punto donde v=0 en lanzamiento vertical hmax hmax = v₀²/(2g)
Tiempo de vuelo Tiempo total en el aire en lanzamiento vertical tvuelo tvuelo = 2v₀/g
Distancia de frenado Distancia para detenerse con a constante negativa dfrenado dfrenado = -v₀²/(2a)
Velocidad media en MRUA vm = (v₀ + v)/2 vm Solo si a es constante

📚 Serie completa: El Movimiento (Cinemática)

Has completado la serie sobre cinemática:

🎉 ¡Felicidades! Has completado el cluster de Cinemática. Ahora dominas los conceptos fundamentales del movimiento: desde cómo describirlo (posición, trayectoria) hasta cómo analizarlo (velocidad, aceleración) y los modelos más importantes (MRU y MRUA).

🔍 Reto de experimentación con MRUA:

  1. Mide g con un experimento casero: Deja caer un objeto desde altura conocida y mide tiempo de caída.
  2. Analiza frenadas de vehículos: Calcula aceleración de frenado usando datos de 100-0 km/h.
  3. Lanza objetos verticalmente: Mide altura máxima con un telémetro o por tiempo de vuelo.
  4. Crea gráficas de movimientos reales: Usa apps de sensor para registrar v-t de un ascensor.
  5. Compara MRU y MRUA: Un coche a velocidad constante vs uno acelerando.

Registra tus experimentos y comprueba las ecuaciones del MRUA en la vida real.
Trasteando En La Escuela

Trasteando en la escuela está formado por un grupo de docentes titulados en diversas áreas. Somos amantes del conocimiento y de la enseñanza, tratando de ayudar a los estudiantes y todo aquel que desee aprender. Escribimos sobre materias de escuelas, institutos y universidades. También sobre noticias relacionadas con la enseñanza. Si quieres aprender, síguenos.

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